Efekt motyla, komicznie pokazany na poniższym rysunku, polega na tym, że bardzo mała zmiana w jednym miejscu na Ziemi może spowodować bardzo duże zmiany w innym miejscu. W tym przypadku motyl trzepocząc skrzydłami, ostatecznie wywołuje tornado. Ta metafora ilustruje matematyczną teorię chaosu, gdzie ziemska atmosfera jest przykładem układu chaotycznego.
Chociaż pojedyncze motyle prawdopodobnie nie odpowiadają za tornada, matematyczny chaos pozostaje czymś bardzo realnym i ważnym. Dlatego spróbuję przedstawić wam istotę efektu motyla, posługując się pewnym skrajnym przykładem zjawiska fizycznego.
Ciepło
Załóżmy, że bierzemy płaski, prostokątny kawałek metalu i podgrzewamy go w czterech określonych miejscach. Poniższa ilustracja pokazuje co stanie się z metalem: cztery gorące punkty (pokazane na początku na czerwono) będą stygnąć w miarę rozprzestrzeniania się ciepła i rozproszenia po metalu, aż cały element osiągnie taką samą temperaturę.
Jeśli wcześniej odizolujemy kawałek metalu, żadne ciepło nie będzie mogło z niego uciec, więc nigdy nie ostygnie z powrotem do swojej pierwotnej temperatury. Całkowita ilość energii w układzie pozostanie taka sama. Jedyne co się zmieni, to sposób rozprowadzania ciepła po powierzchni metalu. Ten przepływ ciepła opisuje równanie przewodnictwa cieplnego. Biorąc pod uwagę rozkład temperatury w metalu, możemy użyć tego równania, aby dowiedzieć się, jak ciepły będzie każdy obszar ciała w dowolnym momencie w przyszłości.
A co jeśli zamiast przewidywać przyszłość, zechcemy dokonać postdykcji? Co jeśli zapragniemy (na podstawie obecnej wiedzy) poznać temperaturę metalu w pewnym momencie w przeszłości?
Przepływ ciepła od tyłu?
Oczywiście już wiemy, że zmiana temperatury nastąpiła w czterech podgrzewanych przez nas punktach, ale udawajmy, że nie mamy o tym pojęcia. Załóżmy, że zobaczyliśmy nasz kawałek metalu później, dopiero wtedy, gdy cała jego powierzchnia osiągnęła równomierną temperaturę. Co więcej, załóżmy, że nie mamy teraz pewności co do dokładnej temperatury metalu. Być może jest kilka miejsc, które są nieco cieplejsze lub zimniejsze od średniej – ale może to wynikać na przykład z naszego dotknięcia lub padania światła słonecznego.
Prawdopodobnie najlepszym możliwym sposobem, aby dowiedzieć się, jak temperatura metalu prezentowała się w przeszłości, będzie przyjęcie szacunków dotyczących obecnej temperatury, wprowadzenie otrzymanej liczby do równania przewodnictwa cieplnego i uruchomienie go w odwrotnej kolejności. Prawda?
Przeprowadziłem dokładnie taką operację i oto, jaki otrzymałem wynik:
To w niczym nie przypomina czterech kropek, które widzieliśmy wcześniej! Co tu się dzieje?
Odwrotne równanie, kreatywnie zwane odwrotnym równaniem przewodnictwa cieplnego, cierpi na efekt motyla. Małe niepewności w znanym rozkładzie temperatury powodują ogromne różnice w przewidywanym rozkładzie temperatury. W przypadku odwrotnego równania efekt ten jest tak poważny, że nie możemy sformułować żadnych użytecznych twierdzeń.
Spróbujmy zrozumieć, jak do tego doszło.
Odwrotne równanie ciepła
Dlaczego odwrotne równanie jest tak chaotyczne? Co powoduje, że w tym przypadku do głosu dochodzi efekt motyla? Pomyślmy o tym, jak zachowuje się ciepło. Ciepło rozprzestrzenia się z gorących regionów do chłodniejszych. Dzięki temu gorące regiony się ochładzają, a zimne rozgrzewają. Na końcu wszystko staje się jednolite.
Jeśli odwrócisz to zachowanie, np. przewiniesz film, ciepło będzie przemieszczać się z zimnych regionów do gorących. Gorące regiony stają się jeszcze gorętsze, a zimne regiony stają się jeszcze zimniejsze! Oznacza to, że jeśli weźmiesz powierzchnię o jednakowej temperaturze i losowo sprawisz, że niektóre miejsca będą tylko trochę cieplejsze od innych, te przypadkowo ciepłe sektory będą się po prostu nagrzewać. Jakakolwiek różnica w stosunku do średniej temperatury, niezależnie od tego, jak drobna, staje się wykładniczo przesadzona.
Oznacza to, że jeśli chcemy cofnąć się od niemal jednolitego rozkładu temperatury i dowiedzieć się, jak metal wyglądał pierwotnie, to musimy mieć całkowitą pewność, co do temperatury w każdym zakamarku. Tyle że nigdy nie osiągniemy absolutnej pewności. Narzędzia pomiarowe są wadliwe. A nawet gdybyśmy posiadali doskonałe narzędzia, to sama mechanika kwantowa zabrania dokonywania nieskończenie dokładnych pomiarów.
Co gorsza, ponieważ ciepło ulega dyfuzji, każdy początkowy rozkład – niezależnie od tego, jak dziwny – prowadzi w końcu do równomiernego rozprowadzenia temperatury po całym metalu. Zatem nawet jeśli ciepło rozchodziłoby się idealnie, w każdym miejscu dokładnie w taki sam sposób, odwrócone równanie nadal pozostaje bezużyteczne. Stając przed nieskończoną liczbą możliwych rozkładów, równanie jest “zmuszone” do podjęcia arbitralnej decyzji. I chociaż ten proces nie jest losowy, rozwiązanie, które równanie “wybiera”, prawie na pewno będzie nieprawidłowe, ponieważ prawdopodobieństwo wynosi dosłownie nieskończoność do jednego.
Dlaczego ciepło jest wyjątkowe?
Brak możliwości postdykcji w kontekście temperatury jest zaskakujący. Większość praw fizyki działa doskonale w obu kierunkach. Jeśli znam wysokość fal w stawie – jak tych pokazanych na ilustracji poniżej – w chwili obecnej, to mogę powiedzieć, jak staw wyglądał w dowolnym momencie, czy to w przeszłości, czy w przyszłości. (Przynajmniej co do zasady. W rzeczywistości tarcie zamieni większość ruchu fal w ciepło. Fale muszą być również niskoenergetyczne; w przeciwnym razie woda też może stać się chaotyczna).
Dlaczego więc ciepło jest wyjątkowe? Z grubsza rzecz biorąc, na temperaturę metalu w rzeczywistości składa się średnia energia budujących go atomów. W zasadzie powinniśmy śledzić ruch każdego pojedynczego atomu i próbować przewidzieć jego ruch po podgrzaniu metalu za pomocą lasera. Dopiero wtedy moglibyśmy dokonać dobrej postdykcji, określając ruch atomów wstecz w czasie.
Oczywiście w rzeczywistości to niemożliwe. Jest o wiele za dużo cząstek i za dużo informacji, toteż potrzebowalibyśmy praktycznie nieskończonej mocy obliczeniowej. Zamiast tego używamy abstrakcyjnej koncepcji temperatury, która jest średnią dla składowych cząstek i atomów.
Ta abstrakcja ma jednak swoją cenę. Intencjonalnie odsiewamy część informacji: dokładną konfigurację metalu. Nie powinno zatem dziwić, że nie możemy zastosować odwrotnego równania przewodnictwa cieplnego. Brakuje nam niezbędnych informacji! Możemy nawet określić ilościowo, ile informacji przed sobą ukryliśmy. Wielkością, która nam to zdradza, jest entropia układu. Jednym ze sposobów zrozumienia drugiej zasady termodynamiki (“entropia nigdy nie maleje”) jest właśnie to, że w miarę przesuwania się w czasie za pomocą równania przewodnictwa cieplnego, coraz bardziej zapominamy o początkowej konfiguracji naszego metalu.
(Pragnę zauważyć, że chociaż pisałem o śledzeniu cząstek w znaczeniu klasycznym, mechanika kwantowa wykorzystuje analogiczne pomysły. Zamiast śledzić cząstki, śledzi się – lub uśrednia – funkcję falową, której amplituda reprezentuje prawdopodobieństwo zmierzenia wszystkich pozycji ogromnej liczby cząstek).
Zarządzanie chaosem
Odwrotne równanie przewodnictwa cieplnego jest w tym przypadku całkowicie bezużyteczne. Nie ma na to recepty. Jest to jednak ekstremalny przykład efektu motyla. I właściwie nie jest on nawet tak do końca chaotyczny. Układ prawdziwie chaotyczny bywa łatwiejszy do opanowania, ponieważ co do zasady pozwala na prognozowanie.
W wielu obszarach nauki w sposób naturalny natykamy się na możliwy do opanowania chaos. Jeśli ciśnienie jest wystarczająco duże lub temperatura lub prędkość są wystarczająco wysokie, płyny takie jak powietrze i woda są chaotyczne, ale w sposób, z którym potrafimy sobie poradzić. Ponieważ opanowanie chaosu w atmosferze wymaga dużej mocy obliczeniowej, bardzo trudno jest dokonać konkretnych przewidywań dotyczących pogody… Jednak nie jest to niemożliwe.
Zjawiska na dużą skalę, takie jak ruchy planet, również mogą być chaotyczne (oj mogą – przyp. A.). Dwa obiekty przyciągane grawitacyjnie będą zachowywać się dość przewidywalnie, ale dodanie do układu jeszcze jednej masy może spowodować, że ruch stanie się chaotyczny. Satelity znajdujące się pod wpływem grawitacji zarówno Ziemi, jak i Księżyca lub zarówno Słońca, jak i Jowisza, są ważnymi przykładami takich układów trzech ciał.
Ujarzmienie systemów chaotycznych bywa bardzo trudne, ale jest niezbędne, jeśli mamy zrozumieć działanie sporej część wszechświata. Na szczęście w wielu przypadkach nad chaosem można zapanować.
Dla uzupełnienia:
Jeśli jesteś ciekawy, jak stworzyłem ilustracje, to umieściłem mój kod w notatnikach IPython w tym repozytorium bitbucket. Zachęcam do zabawy.
Bardziej techniczną dyskusję na temat równania przewodnictwa cieplnego i jego odwrotnej wersji można znaleźć w tym poście na blogu.
A tutaj dogłębna dyskusja na temat entropii, jako “utraconej informacji”.
Znacznie bardziej szczegółowe omówienie chaosu, znajdziesz w tym niesamowitym e-booku.
Jonah Miller
Powyższy tekst jest gościnnym przedrukiem artykułu Heat, Chaos, and Predictability, opublikowanego pierwotnie w 2015 roku na zaprzyjaźnionym blogu thephysicsmill.com. Jego autor Jonah Miller jest astrofizykiem związanym z Centrum Badań Nieliniowych przy Narodowym Laboratorium Los Alamos w Nowym Meksyku. Na co dzień zajmuje się modelowaniem ostatnich etapów życia gwiazd oraz numerycznymi rozwiązaniami równań różniczkowych.
