Cholerne strzałki Feynmana

Istnieją różne sposoby radzenia sobie z nieznośną naturą świata kwantów. Chyba najciekawsze, jak również najbardziej praktyczne metody pozostawił po sobie Richard Feynman.

Tak oto pokazaliśmy, w jaki sposób można odtworzyć rachunkowo dziwne cechy częściowego odbicia, rysując te cholerne strzałki na papierze.

Richard Feynman

Zatraceni w niepewności

Zastanawiam się co wprawia mnie w większe zdumienie. Fascynująca natura subatomowej rzeczywistości, czy kreatywność wielkich umysłów, które podjęły heroiczne próby jej ujarzmienia i interpretacji. Dla tych, którzy nie rozumieją co mam na myśli i z czego wynika mój zachwyt – kilka słów wstępu.

Mechanika kwantowa opiera się na regułach, jakie przeciętny człowiek mógłby śmiało uznać za sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem. Skoro tu jesteście, to zapewne słyszeliście takie terminy jak dualizm korpuskularno-falowy, zasada nieoznaczoności, skok kwantowy, superpozycja, czy nielokalność. Nie będziemy dziś do nich wracać, więc ograniczę się do ogólnego stwierdzenia, że w mikroskali fizyka klasyczna wywiesza białą flagę, ustępując miejsca dziwnym, choć bardzo dobrze udokumentowanym i opisanym regułom fizyki mikroświata. Najbardziej podstawowa spośród nich brzmi: w każdym zjawisku kwantowym czai się jakiś pierwiastek niepewności. Ale spokojnie. Nie oznacza to wcale, że fizyka polega na zgadywankach lub wróżeniu z kuli. Przeciwnie, kwantowa losowość rządzi się swoimi prawami, a szansę na zajście oczekiwanego zjawiska możemy wyliczyć z satysfakcjonującą dokładnością.

Czytelnik ma pełne prawo zakładać, że próby wyznaczenia prawdopodobieństwa (a ściślej mówiąc amplitudy prawdopodobieństwa) określonego zdarzenia są przerażająco skomplikowane. W istocie, zazwyczaj tak właśnie jest. Jednak jak pokazał Richard Feynman, przynajmniej w niektórych sytuacjach możemy obłaskawić niesforne cząstki, stosując metodę… kreślenia strzałek.

Richard Feynman, twórca QED

Tajemnica częściowego odbicia

Jednak zanim przejdziemy do bazgrolenia, dla lepszego rozeznania, rzućmy okiem na pewne zjawisko. Konkretniej na klasyczny i doskonale znany każdemu z codziennych doświadczeń efekt częściowego odbicia światła. Zawsze kiedy pochylamy się nad taflą wody lub spoglądamy przez okno, widzimy co leży za przezroczystą powierzchnią, ale jednocześnie dostrzegamy zarys własnej twarzy. Niby nic szokującego, jednak analizując ten fenomen od strony kwantów światła sprawa robi się tajemnicza. Foton z definicji jest niepodzielny i nie ma możliwości w części odbić się od powierzchni, a w części przez nią przeniknąć. Prowadzi nas to do wniosku, że po prostu niektóre spośród biliardów fotonów postanawiają się odbić, podczas gdy reszta brnie dalej. Tylko dlaczego tożsame cząstki zachowują się na różne sposoby i wybierają różne opcje? I co decyduje, który foton wybierze daną opcję?

Tak jak w wielu innych kwantowych sytuacjach, losem pojedynczej cząstki rządzi przypadek – jednak analizując ogromną ilość zdarzeń zaczynamy wyraźnie dostrzegać, że jedne zdarzenia mają większe prawdopodobieństwo zajścia od drugich. Jak jest w przypadku efektu częściowego odbicia? Można to sprawdzić eksperymentalnie, ustawiając w wybranych miejscach fotopowielacze, zliczające fotony poprzez konwertowanie je w impulsy elektryczne. Dzięki temu wiemy, że na sto fotonów światła monochromatycznego (o jednej barwie) docierających do powierzchni szkła, aż 96 przenika dalej, a zaledwie 4 ulega odbiciu.

Kiedy fotony mają do pokonania jedną powierzchnię (po lewej), 4% z nich ulegnie odbiciu. W przypadku dwóch powierzchni wszystko zaczyna się gmatwać.

Mogłoby się wydawać, że wyczerpaliśmy temat, jednak to dopiero początek zabawy. Powtórzmy: powyższe szacunki są prawdziwe tylko w sytuacji, gdy mamy do czynienia z jedną powierzchnią. Innymi słowy 96% fotonów dotrze do detektora zanurzonego w basenie lub zatopionego wewnątrz szklanej bryły. A co jeżeli ustawimy fotopowielacz za szybą o określonej grubości? Zauważcie, że w takiej sytuacji foton ma przed sobą dwie powierzchnie: przednią i tylną ścianę szkła. Intuicja mówi nam, że w takiej sytuacji do fotopowielacza umieszczonego za szybą dostanie się 92% fotonów.

To rozsądne podejście, ale prawdziwe co najwyżej częściowo. Eksperymentatorzy wykazali bowiem, że proporcje podlegają zmianom zależnie od grubości użytego szkła. Ale nie to jest najdziwniejsze. Początkowo pogrubiając szybę odnotujemy wzmocnienie odbicia światła – co jeszcze łatwo przetrawić – jednak po przekroczeniu pewnej wartości liczba odbitych fotonów znów maleje, spadając niemal do zera, potem znów rośnie, znów maleje, znów rośnie, znów maleje i tak na zmianę. Trochę jak z moją weną.

Jeżeli uważacie to zjawisko za osobliwe i macie kłopot z ułożeniem sobie tego wszystkiego w głowie, to na pewno nie jesteście odosobnieni. Niestety nie mogę zagwarantować, że po zakończeniu tego tekstu doznacie ostatecznego olśnienia. Istnieje jednak duża szansa, że spojrzycie na fizykę kwantów od nowej strony i odczujecie sporo intelektualnej satysfakcji. W końcu, skubniemy co nieco z najlepszej teorii opisującej interakcje światła i materii – QED, czyli elektrodynamiki kwantowej wielkiego Richarda Feynmana.

Feynman przy tablicy

Jak już wiemy pojedyncza powierzchnia przepuszcza 96% fotonów, podczas gdy 4% podlega odbiciu. Na tej podstawie Feynman proponuje następującą konwencję. Niech każde zdarzenie będzie symbolizowane przez zwykłą strzałkę. Jej długość podniesiona do kwadratu będzie równa prawdopodobieństwu zajścia tego zdarzenia. W tym przypadku strzałka dla odbicia fotonu mierzy 2 (zatem 22=4). Ciut bardziej skomplikowana pozostaje kwestia kierunku i zwrotu strzałki. Feynman używa tu obrazowej analogii do wyimaginowanego stopera. Wskazówka obraca się od wyemitowania fotonu aż do jego wychwycenia przez detektor. Kierunek wskazówki to równocześnie kierunek naszej strzałki. Jeszcze jedno: przy okazji odbicia od przedniej i tylnej warstwy szkła, strzałki mają przeciwne zwroty. (Tak to uproszczony zestaw reguł; niezbędne minimum).

Kierunek strzałki zależy od czasu jaki zajmuje fotonowi pokonanie trajektorii.

Teraz pozostaje nam narysować strzałki dla interesujących zdarzeń zachowując trzy przykazania i przyłożyć kraniec pierwszej do początku kolejnej. W tym przypadku (patrz: grafika poniżej), strzałka niebieska odnosi się do prawdopodobieństwa odbicia fotonu od przedniej warstwy szkła, zaś strzałka czerwona do odbicia od warstwy tylnej. Wiemy, że co do zasady pojedyncza szklana powierzchnia odbija 4% fotonów, więc nie kombinujemy i kreślimy strzałki o identycznej długości równej 2. Dalej, idąc radą mistrza bongosów wyobrażamy sobie stoper odmierzający czas dla obu procesów. Druga “czerwona” droga jest dla fotonu dłuższa o grubość szyby, w związku z czym zegar tyka o ułamek sekundy dłużej. Układamy obie strzałki w kierunkach wytyczonych przez wskazówki, pamiętając przy tym, aby odwrócić zwrot tej pierwszej. Wreszcie sumujemy strzałki przykładając początek pierwszej do końca drugiej. Oto nasz pierwszy elektrodynamiczny bohomaz.

Foton może ulec odbiciu od powierzchni przedniej (co reprezentuje strzałka niebieska) lub tylnej (strzałka czerwona). Strzałka wypadkowa mówi nam o łącznej amplitudzie prawdopodobieństwa odbicia fotonu od szkła o określonej grubości.

Nie wygląda to imponująco, ale zdradza ogólną zasadę stojącą za metodą dodawania strzałek. Wielki finał to połączenie wolnych krańców przez narysowanie strzałki wypadkowej. Jej rozmiar – a dokładniej, zgodnie z wytycznymi, długość podniesiona do kwadratu – zawiera informację o łącznej amplitudzie prawdopodobieństwa odbicia fotonu od szyby o danej grubości. Jako się rzekło, w tym konkretnym przypadku odbiciu nie uległoby 8% fotonów jak podpowiada intuicja, lecz 6,25%.

Spostrzegawczy czytelnik na pewno zauważył, jak wiele zależy od ułożenia strzałek. Nie musimy nawet sięgać po ołówek, aby wywnioskować, co stałoby się z rysunkiem, gdybyśmy użyli cieńszej szyby. Mniejsza grubość oznacza mniejszą odległość pomiędzy pierwszą i drugą powierzchnią, a zatem wskazówki obu stoperów leżałyby odpowiednio bliżej siebie. Dałoby to nam mniejszy kąt między strzałkami oraz krótszą strzałkę wypadkową. Przy naprawdę cienkiej warstwie szkła prawdopodobieństwo odbicia fotonów mogłoby spaść poniżej 4%, a nawet sięgnąć wartości bliskich zeru (materiał stałby się niemal całkowicie przezroczysty).

Jeszcze ciekawsza sytuacja ma miejsce, kiedy warstwa szkła jest bardzo gruba. Na tyle, że wskazówka mierząca czas dla tylnego odbicia zdąży zajść o pół tarczy dalej od pierwszej wskazówki i w końcu znajdzie się z nią w linii prostej. Długość strzałki wypadkowej będzie tu tożsama ze zwykłą sumą dwóch strzałek składowych i wyniesie 4. Po podniesieniu tej liczby do kwadratu otrzymamy szansę na odbicie sięgającą 16%. Jednak co osobliwe, to maksymalny możliwy wynik. Przy dalszym pogrubianiu szkła kąt między wskazówkami-strzałkami znowu się zmniejsza, aż do zera, po czym powtórnie zaczyna rosnąć. I jest to wynik zgodny z wynikami obserwacji, o których mówiliśmy kilka akapitów wcześniej. Przepuszczając przez szkło monochromatyczne światło, ilość odbijanych fotonów ciągle oscyluje między 0 a 16%.

Bezwstydny cząstkowiec

Wyznaczanie amplitudy prawdopodobieństwa dla częściowego odbicia, to oczywiście tylko przykład. Stosunkowo prosty i dzięki temu użyteczny dydaktycznie. Niepozorne bazgrolenie posiada bezbrzeżny potencjał, pozwalając na obrazowe uchwycenie dziesiątków zjawisk z udziałem światła i materii. Skąd bierze się dyfrakcja? Dlaczego kąt odbicia promienia jest równy kątowi padania? Jak soczewka skupia światło? Dlaczego fotony zdają się biec przez przestrzeń po linii prostej? Te i wiele innych fenomenów można opisać przez skrupulatne łączeniem kilku, kilkunastu, a w razie potrzeby kilkuset strzałek.

Dzięki składaniu strzałek możemy określić m.in., które rejony lustra odbijają najwięcej fotonów.

Opisana procedura zdradza nie tylko nadludzką kreatywność Richarda Feynmana, ale również charakterystyczną dla tego uczonego wizję mechaniki kwantowej. Wizję wyrażoną w zdaniu rozpoczynającym jeden z jego wykładów: “Pierwszą ważną cechą światła jest, że składa się ono z cząstek”. Niby nic wielkiego, ale musicie wiedzieć, że większość fizyków mówiąc o cząstkach ma na myśli raczej pola kwantowe aniżeli rzeczywistą korpuskułę. Jak zauważa Art Hobson, z Feynmanem było inaczej i pozostawał on bezwstydnym cząstkowcem. W jego umyśle fotony potrafiły w sobie tylko znany sposób “badać” wszystkie dostępne im opcje, również te mało prawdopodobne, wybierając jedną z nich (co wyjaśnia budząca dreszcze koncepcja sumowania po trajektoriach). Wypełniały tym samym wszelkie przykazania Heisenberga i Schrödingera, zachowując jednak charakter cząstek.

Czy takie rozumowanie rozwiązywało wszystkie fizyczne, matematyczne i filozoficzne problemy mikroświata? Nie, ale dawało praktyczne efekty. Pozwoliło na stworzenie unikatowego formalizmu oraz na rozwiązanie niejednego kłopotu, a to było dla Feynmana najważniejsze.

Literatura uzupełniająca:
R. Feynman, QED. Osobliwa teoria światła i materii, przeł. H. Białkowska, Warszawa 2001;
G. Milburn, Procesor Feynmana. Wprowadzenie do obliczeń kwantowych, przeł. P. Amsterdamski, Warszawa 2000;
A. Hobson, Kwanty dla każdego. Jak zrozumieć to, czego nikt nie rozumie, przeł. U. Seweryńska, Warszawa 2018;
J. Gribbin, Kotki Schrödingera, czyli poszukiwanie rzeczywistości, przeł. J. Bieroń, Warszawa 1999;
J. Miller, Reality Is—The Feynman Path Integral, [online: www.thephysicsmill.com/2013/07/16/reality-is-the-feynman-path-integral/];
Animacje powzięte z kanału Cassiopeiaproject, [online: www.youtube.com/watch?v=v1GdgD77AQ4].
Kwantowe interpretacje: fala pilotująca de Broglie’a-Bohma Zegary na wysokościach – o testowaniu grawitacyjnej dylatacji czasu Mondro frela ze Ślunska – Maria Goeppert-Mayer