Zanim przejdziemy do właściwej treści, muszę przyznać się wam do czegoś wstydliwego. Tworząc listę ciekawych liczb, naraziłem się na wejście w konflikt z logiką. A to dlatego, że ile byśmy potu nie wylali, prawdopodobnie nigdy nie zlokalizujemy liczby nieciekawej. I nie jest to żadna matematyczna kurtuazja. Pomyślcie sami o pierwszej z brzegu liczbie, którą chcielibyście oskarżyć o bycie nudną. 0 czy 1 są kluczowe, więc dajmy im spokój. Dwójka to najmniejsza liczba pierwsza – niezwykle ważna. Trójka to z kolei najmniejsza nieparzysta liczba pierwsza. Oczywiście taka zabawa może trwać naprawdę długo, więc dla przykładu przeskoczmy trochę dalej i zdecydujmy się na zupełnie pospolitą, z pozoru niebudzącą kontrowersji liczbę 39.
I tu wpadamy w sidła pewnego paradoksu. Jeżeli trzydziestkę dziewiątkę naprawdę uznamy za najmniejszą nudną liczbę, to… właśnie odkryliśmy jej naprawdę intrygującą cechę. Tym samym mamy prawo dojść do wniosku, że na swój sposób każda liczba zasługuje na miano interesującej. To humorystyczne spostrzeżenie doczekało się nawet nazwy: paradoksu nieciekawej liczby.
To tak na marginesie. Nie przedłużając, rzućmy okiem na naprawdę ciekawe liczby, które na przeróżne sposoby wybijają się ponad matematyczną przeciętność.
1729 i liczby taksówkowe
Historia tak zwanej liczby taksówkowej dotyczy anegdoty związanej z dwoma wielkimi matematykami z początków poprzedniego stulecia: Godfreyem Hardym oraz genialnym samoukiem, Srinivasą Ramanujanem. Profesor Cambridge miał ekscentryczny nawyk rozmyślania o właściwościach wszelkich spotykanych numerów. Pewnego dnia, gdy odwiedził swojego schorowanego podopiecznego, z żalem stwierdził, że wioząca go taksówka nosiła wyjątkowo nieciekawy numer 1729.
Ramanujan nie puścił tego luźnego spostrzeżenia mimo uszu i po chwili namysłu nie zgodził się ze swoim brytyjskim mentorem. Jak zauważył, 1729 to najmniejsza liczba naturalna, którą daje się wyrazić jako sumę dwóch sześcianów na dwa sposoby. Zarówno wyrażenie 13+123, jak i 93+103 dadzą wynik 1729. Okoliczności powstania tego pomysłu są zapewne nieco ubarwione, ale nazwa liczby taksówkowej, czy też liczby Hardy’ego-Ramanujana, ostała się w piśmiennictwie.
Tak przy okazji. Najmniejsza liczba, którą można przedstawić jako sumę sześcianów na trzy różne sposoby to 87539319.
73
W jednym z odcinków zakończonego już serialu Big Bang Theory Sheldon oznajmił, że najlepszą liczbą jest bez wątpienia 73. W swoim stylu natychmiast poparł tezę logicznym wywodem, o który nikt go nie prosił. Szło to mniej więcej tak. 73 jest dwudziestą pierwszą (21.) z kolei liczbą pierwszą. Jej lustrzane odbicie to 37, będąca dwunastą (12.) spośród liczb pierwszych. Oczywiście 12 to lustrzane odbicie 21. Co więcej, mnożąc 7 i 3 otrzymujemy liczbę 21. Ale to jeszcze nie koniec, bo jeżeli przełożymy 73 na system binarny otrzymamy 1001001. Spostrzegawczy czytelnik dostrzeże w tym zapisie palindrom – wyglądający dokładnie tak samo czytany od obu stron.
Nic dziwnego, że serialowy fizyk nierzadko śmigał w koszulce z tajemniczym numerem 73. Trudno też się z nim nie zgodzić, że “73 to Chuck Norris w świecie liczb”.
0
Zapewne większość z was o tym wie, ale i tak przypomnę. Nawet coś tak fundamentalnego i niezbędnego jak pojęcie zera, nie towarzyszy nam od zarania dziejów. Jasne, starożytni mieli świadomość “nicości”, ale najczęściej nie łączyli jej ze światem liczb. Zero wyrażone konkretnym symbolem, traktowane jako pełnoprawny byt matematyczny, zaczęło ewoluować dopiero w średniowiecznych Indiach.
Tradycyjnie, szczególną rolę w tym epokowym odkryciu przypisuje się Brahmagupcie. Uczony nie tylko widział zero na osi liczbowej, ale zaczął dumać nad jego rolą w równaniach arytmetycznych i algebraicznych. Sformułował zasadę, wedle której sumując liczbę dodatnią z zerem, nie odnotujemy żadnej zmiany. Ból głowy Brahmagupty wywoływała rola zera w dzieleniu. Doszedł do szokującego wniosku, że najlepiej nie podejmować tego rodzaju działań, bowiem rezultatem dzielenia przez zero jest liczba nieskończona. Rozumował następująco: skoro dzielenie przez małe liczby daje duże wyniki (np. 100:1/4 = 400), to podzielenie przez 0 wpycha nas w otchłań nieskończoności. Niepokojące to zero.
G64 (liczba Grahama)
Wyznaczenie “największej liczby” to z wiadomych przyczyn zadanie beznadziejne. Do każdej wartości o jakiej pomyślimy, zawsze możemy dodać jeden i tak – cytując klasyka – ad mortem defaecatam. Dlatego jedyne o czym możemy rozmawiać, to największe nazwane liczby, tudzież największe liczby mające jakieś zastosowanie.
Przez długi czas rekord należał do googola (10100), opisanego przed wojną w książce autorstwa Edwarda Kasnera (wszelkie skojarzenia z amerykańskim koncernem są uzasadnione). Jakiś czas później ktoś podniósł 10 do googola, wskutek czego narodził się potworek zwany googolplexem (1010^100).
Jednak te wszystkie zabawy zdają się tracić na znaczeniu przy liczbie Grahama. Powstała ona jako wypadkowa zaawansowanych rozważań na temat teorii grafów. Jest ona tak olbrzymia, że nawet zapis z użyciem potęgi nie wchodzi w rachubę i należy sięgnąć do znacznie mniej popularnej notacji strzałkowej autorstwa Donalda Knutha (wyglądałoby to tak: G64=3↑↑↑…↑↑↑3). Oczywiście teraz możecie wzruszyć ramionami i stwierdzić, że to nie robi wrażenia, ponieważ nawet do czegoś takiego zawsze można dodać jeden. To prawda, ale liczba Grahama jest największą liczbą mającą zastosowanie, ukutą przez matematyka na potrzeby konkretnego twierdzenia. Dla zainteresowanych wstawiam filmik, z udziałem samego Ronalda Grahama.
Może to wyświechtane, ale warto zauważyć, że żadna z przywołanych wartości nie ma swojego odbicia w przyrodzie. Szacuje się, że liczba atomów budujących wszystkie gwiazdy, mgławice, pulsary, planety, nasze ciała i co tam jeszcze chcecie – nie przekracza 1080. Oznacza to, iż cały widzialny wszechświat zawiera mniej atomów od googola, nie wspominając już googolplexie czy liczbie Grahama.
10120 (liczba Shannona)
Jeden z pionierów informatyki, a prywatnie zagorzały szachista – Claude Shannon – w 1950 roku opublikował artykuł Programming a Computer for Playing Chess. Amerykanin rozważał w nim możliwości takiego zaprogramowania ówczesnych prymitywnych maszyn obliczeniowych, aby były one w stanie rozegrać mecz szachowy. Przy tej okazji Shannon zainspirował swoich kolegów do oszacowania wszystkich ruchów i kombinacji dostępnych podczas rozgrywki. Jak się okazało, po dziesięciu turach, zabawa może potoczyć się na ponad 69 bilionów sposobów. Przy czterdziestu ruchach – a tyle wynosi średnia – liczba możliwych gier wynosi już 10120, czyli liczbę Shannona.
Uczciwie trzeba przyznać, że jest to wartość przeszacowana, ponieważ uwzględnia również ruchy, których nikt przy zdrowych zmysłach by nie wykonał. W rozsądnej rozgrywce liczba kombinacji byłaby o 2/3 mniejsza – choć nadal monstrualna.
1022 (liczba Sagana)
Charyzmatyczny Carl Sagan słynął z niemal obsesyjnego podkreślania nieogarniętego ogromu wszechświata. Tak często powtarzał w swoich programach frazę billions and billions, aż ta na dobre wsiąkła w popkulturę. Do tego stopnia, że zaczęto żartobliwie mówić o nowej jednostce, gdzie jeden sagan równałby się czterem miliardom (w końcu chodzi o co najmniej dwa miliardy i kolejne co najmniej dwa miliardy).
Niezależnie od tego pomysłu, już po śmierci amerykańskiego astronoma zaproponowano liczbę Sagana. Miałaby ona oznaczać mnogość wszystkich gwiazd obecnych we wszystkich galaktykach w widzialnym wszechświecie. Sam Sagan spopularyzował twierdzenie, że taka liczba powinna być większa niż liczba wszystkich ziaren piasku na wszystkich plażach i pustyniach Ziemi i wynosić w przybliżeniu 1022. Obecnie szacuje się, że gwiazd we wszechświecie jest co najmniej dziesięć razy więcej.
247
Zacząłem artykuł od wspomnienia paradoksu nieciekawej liczby. Matematyk z Oxfordu, Alex Bellos, zmierzył się z bardzo podobnym kłopotem. W wydanej kilka lat temu książce The Grapes of Math, zasugerował, że najniższą prawdziwie nudną liczbą jest 247. Nie dość, że nie wykazuje żadnych wyjątkowych właściwości, to jeszcze była najniższą liczbą nieposiadającą własnej strony na ówczesnej Wikipedii. Jak łatwo się domyśleć, internetowa encyklopedia została szybko zaktualizowana. 247 ma już własną stronę, na której widnieje m.in. informacja o śmiałej tezie Bellosa.
Swoją drogą, ciekawe jaka jest obecnie najmniejsza liczba niedostrzeżona przez wikipedystów.
282589933-1
Bez względu na epokę, liczby pierwsze pozostają oczkiem w głowach wszystkich pasjonatów matematyki. Co prawda wciąż nie rozgryźliśmy zagadki ich rozkładu, ale nie przeszkadza nam to w dalszych staraniach oraz w odnajdywaniu kolejnych, rekordowo wielkich liczb pierwszych. Od stycznia 2019 tytuł ten należy do 282589933-1, czyli liczby zawierającej 24 miliony 862 tysięcy cyfr – o półtora miliona cyfr dłuższej od poprzedniczki. Co ciekawe, tego typu wyników nie dostarczają nam superkomputery o wielkości ciężarówki, lecz amatorzy, udostępniający moc obliczeniową swoich pecetów na rzecz programu Great Internet Mersenne Prime Search. W ten sposób zaszczyt odkrycia nowej największej liczby pierwszej (będącej jednocześnie największą liczbą Mersenne’a) i nagroda w wysokości 3 tys. dolarów, przypadły Patrickowi Laroche’owi – trzydziestoparoletniemu informatykowi z Florydy.
Projekt GIMPS jest stale rozwijany, więc w przeciągu następnych kilkunastu miesięcy prawdopodobnie powitamy nową rekordzistkę.
Liczby Szymborskiej
O liczbie pi mówi się dużo i wylewnie, więc zamiast ludolfiny postanowiłem umieścić w zestawieniu powiązane z nią liczby Szymborskiej. Tak, dobrze myślicie. Chodzi o zmarłą w 2012 roku noblistkę w dziedzinie literatury. Swego czasu Wisława Szymborska wydała tomik pod tytułem Wielka liczba, w którym znalazło się miejsce na wiersz Liczba pi.
Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa
podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.
Korowód cyfr składających się na liczbę Pi
nie zatrzymuje się na brzegu kartki,
potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze,
przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,
przez całą nieba wzdętość i bezdenność.
O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!
Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni!
A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście
mój numer telefonu, twój numer koszuli
(…)
ale nie liczba Pi, co to to nie,
ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,
nie byle jakie osiem,
nieostatnie siedem,
przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wieczność
do trwania.~ W. Szymborska, “Liczba pi”
Matematycy to raczej kiepscy poeci, a większość poetów nie należy do elity matematyków. A jednak, mimochodem Szymborska poczyniła w swoim dziele interesujące spostrzeżenie: skoro mamy do czynienia z liczbą niewymierną (3,141592653589…) to w jej niekończącym się rozwinięciu, być może moglibyśmy odszukać dowolną liczbę naturalną, jak “mój numer telefonu, twój numer koszuli”. Jest to rzeczywisty problem matematyczny. Tak, strumień cyfr w liczbie niewymiernej ciągnie się bez końca, ale, po pierwsze nie muszą być to cyfry losowe, a po drugie szansa na wyłapanie określonej sekwencji drastycznie spada wraz z jej długością. O ile spotkanie w rozszerzeniu pi konkretnej kilkucyfrowej liczby wydaje się niemal pewne, o tyle natrafienie na nasz numer konta bankowego już nie. Z drugiej strony, mamy do dyspozycji nieskończoność.
Jeśli chcecie sami poszukać jakiegoś rozsądnie krótkiego numeru w π, to powstało do tego nawet narzędzie dostępne pod adresem facade.com/legacy/amiinpi/. Rzecz jasna ma ono ograniczoną moc przerobową, ale przy odrobinie szczęścia może się okazać, że wasza data urodzenia lub kod pocztowy znajdują się gdzieś w pierwszym milionie cyfr następujących po 3,14…
42
Na zakończenie pozostawiłem liczbę, która na stałe zapisała się kulturze jako symbol prób zrozumienia sensu istnienia. W słynnej powieści Autostopem przez galaktykę Douglas Adams porusza wątek superinteligentnych istot, które skonstruowały najpotężniejszy (przynajmniej do czasu) komputer wszechświata. Głęboka myśl, jak go nazwano, został zaprojektowany wyłącznie po to, aby udzielić odpowiedzi na “wielkie pytanie o życie, wszechświat i całą resztę”. Ku uciesze programistów maszyna zgodziła się wygenerować konkretną i prostą odpowiedź, ale był jeden haczyk: obliczenia miały zająć… siedem i pół miliona lat.
Czcigodni potomkowie zaawansowanej cywilizacji nie zapomnieli o swojej misji i po 7,5 mln lat pełni podniecenia, znów zwrócili się do Głębokiej myśli. Jednak odpowiedź nie do końca ich usatysfakcjonowała.
W porządku – rzekł komputer i znowu zamilkł. Obaj mężczyźni zadygotali. Napięcie stawało się nie do zniesienia.
Naprawdę nie spodoba się wam – powtórnie zauważył Głęboka myśl.
Powiedz nam!
W porządku – ustąpił komputer. – Odpowiedź na wielkie pytanie…
Tak…!
O życie, wszechświat i wszystko inne… – powiedział Głęboka myśl.
Tak…!
Brzmi… – zaczął Głęboka Myśl i urwał. – Tak…!
Brzmi… nn – Tak…….
Czterdzieści dwa – powiedział Głęboka myśl z nieskończonym spokojem i majestatem.~ D. Adams, “Autostopem przez galaktykę”
Urządzenie było całkowicie pewne swojego wyniku, ale zauważyło, że problem nie leży w odpowiedzi, lecz w pytaniu. Dopiero właściwe zrozumienie arcyproblemu umożliwi poznanie istoty arcyodpowiedzi. Tu Głęboka myśl okazał się bezradny, oferując jednak pomoc w zaprojektowaniu nowego, jeszcze wspanialszego komputera.
Choć sama liczba 42 nie posiada w rzeczywistości żadnego ukrytego znaczenia, w rewelacyjny sposób, pod płaszczykiem komedii, zmusiła umysły tysięcy czytelników do całkiem poważnej refleksji epistemologicznej. Czy pytanie o sens posiada w ogóle jakieś uzasadnienie? A jeśli tak, to czy bylibyśmy w stanie je ogarnąć? I czy rzeczywiście jesteśmy na to gotowi?
Pamiętajcie, że na swój sposób każda liczba ma w sobie coś wyjątkowego, o czym możecie się przekonać choćby odwiedzając stronę What’s Special About This Number? Z mojej strony to tyle, 01100011011110100110010111000101100110111100010010000111.
Literatura uzupełniająca:
T. Crilly, Matematyka. 50 idei, które powinieneś znać, przeł. W. Bartol, Warszawa 2019;
I. Stewart, Liczby natury, przeł. M. Tempczyk, Warszawa 1996;
D. Adams, Autostopem przez galaktykę, przeł. A. Banaszak, Warszawa 1996;
W. Szymborska, Wielka liczba, Warszawa 1976;
C. Shannon, Programming a Computer for Playing Chess, “Philosophical Magazine”, ser. 7, vol. 41, marzec 1950;
Strona programu Great Internet Mersenne Prime Search, [online: www.mersenne.org].
