Nie wiem czy istnieje jakaś skala nerdostwa, ale chyba właśnie osiągnąłem jej wierzchołek. Sporządziłem bowiem listę szczególnie ważnych, ciekawych, unikatowych, czasem nawet zabawnych… liczb.

Zanim przej­dziemy do wła­ści­wej treści, muszę przyznać się wam do czegoś wsty­dli­wego. Tworząc listę cie­ka­wych liczb, nara­zi­łem się na wejście w konflikt z logiką. A to dlatego, że ile byśmy potu nie wylali, praw­do­po­dob­nie nigdy nie zlo­ka­li­zu­jemy liczby nie­cie­ka­wej. I nie piszę tego z racji mate­ma­tycz­nej kur­tu­azji. Pomy­śl­cie sami o pierw­szej liczbie, którą chcie­li­by­ście oskarżyć o bycie nudną. 0 czy 1 są kluczowe, więc dajmy im spokój. Dwójka to naj­mniej­sza liczba pierwsza – nie­zwy­kle ważna. Trójka to z kolei naj­mniej­sza nie­pa­rzy­sta liczba pierwsza… Taka zabawa może trwać naprawdę długo, więc dla przy­kładu zde­cy­dujmy się na pospo­litą, z pozoru nie­bu­dzącą kon­tro­wer­sji liczbę 39.

I tu wpadamy w sidła pewnego para­doksu. Jeżeli trzy­dziestka dzie­wiątka to w istocie naj­mniej­sza nudna liczba, to właśnie odkry­li­śmy jej naprawdę intry­gu­jącą cechę. Tym samym mamy prawo dojść do wniosku, że na swój sposób każda liczba zasłu­guje na miano inte­re­su­ją­cej. To humo­ry­styczne spo­strze­że­nie docze­kało się nawet nazwy: para­doksu nie­cie­ka­wej liczby.

To tak na mar­gi­ne­sie. Nie prze­dłu­ża­jąc, rzućmy okiem na kilka mniej lub bardziej znanych liczb, które na prze­różne sposoby wybijają się ponad mate­ma­tyczną prze­cięt­ność.


1729 (liczba taksówkowa)

Historia tak zwanej liczby tak­sów­ko­wej dotyczy anegdoty zwią­za­nej z dwoma wielkimi mate­ma­ty­kami z począt­ków poprzed­niego stulecia: God­freyem Hardym oraz genial­nym samo­ukiem, Sri­ni­vasą Rama­nu­ja­nem. Profesor Cam­bridge miał eks­cen­tryczny nawyk roz­my­śla­nia o wła­ści­wo­ściach wszel­kich spo­ty­ka­nych numerów. Pewnego dnia, gdy odwie­dził swojego scho­ro­wa­nego pod­opiecz­nego, z żalem stwier­dził, że wioząca go taksówka nosiła wyjąt­kowo nie­cie­kawy numer 1729.

Rama­nu­jan nie puścił tego luźnego spo­strze­że­nia mimo uszu i po chwili namysłu nie zgodził się ze swoim bry­tyj­skim mentorem. Jak zauważył, 1729 to naj­mniej­sza liczba natu­ralna, którą daje się wyrazić jako sumę dwóch sze­ścia­nów na dwa sposoby. Zarówno wyra­że­nie 13+123, jak i 93+103 dadzą wynik 1729. Oko­licz­no­ści powsta­nia tego pomysłu są zapewne nieco ubar­wione, ale nazwa liczby tak­sów­ko­wej, czy też liczby Hardy’ego-Ramanujana, ostała się w piśmien­nic­twie.

Tak przy okazji. Naj­mniej­sza liczba, którą można przed­sta­wić jako sumę sze­ścia­nów na trzy różne sposoby to 87539319.

73

W jednym z odcinków zakoń­czo­nego już serialu Big Bang Theory, Sheldon oznajmił, że naj­lep­szą liczbą jest bez wąt­pie­nia 73. W swoim stylu, natych­miast poparł tezę logicz­nym wywodem, o który nikt go nie prosił. Szło to mniej więcej tak. 73 jest dwu­dzie­stą pierwszą (21.) z kolei liczbą pierwszą. Jej lustrzane odbicie to 37, będąca dwunastą (12.) spośród liczb pierw­szych. Oczy­wi­ście 12 to lustrzane odbicie 21. Co więcej, mnożąc 7 i 3 otrzy­mu­jemy liczbę 21. Ale to jeszcze nie koniec, bo jeżeli prze­ło­żymy 73 na system binarny otrzy­mamy 1001001. Spo­strze­gaw­czy czy­tel­nik dostrzeże w tym zapisie palin­drom – wyglą­da­jący dokład­nie tak samo czytany od obu stron.

Nic dziwnego, że seria­lowy fizyk nie­rzadko śmigał w koszulce z tajem­ni­czym numerem 73. Trudno też się z nim nie zgodzić, że “73 to Chuck Norris w świecie liczb”.

0

Zapewne więk­szość z was o tym wie, ale i tak przy­po­mnę. Nawet coś tak fun­da­men­tal­nego i nie­zbęd­nego jak pojęcie zera, nie towa­rzy­szy nam od zarania dziejów. Jasne, sta­ro­żytni mieli świa­do­mość “nicości”, ale naj­czę­ściej nie łączyli jej ze światem liczb. Zero wyrażone kon­kret­nym symbolem, trak­to­wane jako peł­no­prawny byt mate­ma­tyczny, zaczęło ewo­lu­ować dopiero w śre­dnio­wiecz­nych Indiach.

Tra­dy­cyj­nie, szcze­gólną rolę w tym epokowym odkryciu przy­pi­suje się Brah­ma­gup­cie. Uczony nie tylko widział zero na osi licz­bo­wej, ale zaczął dumać nad jego rolą w rów­na­niach aryt­me­tycz­nych i alge­bra­icz­nych. Sfor­mu­ło­wał zasadę, wedle której sumując liczbę dodatnią z zerem nie odno­tu­jemy żadnej zmiany. Ból głowy Brah­ma­gupty wywo­ły­wała rola zera w dzie­le­niu. Doszedł do szo­ku­ją­cego wniosku, że naj­le­piej nie podej­mo­wać tego rodzaju działań, bowiem rezul­ta­tem dzie­le­nia przez zero jest liczba nie­skoń­czona. Rozu­mo­wał nastę­pu­jąco: skoro dzie­le­nie przez małe liczby daje duże wyniki (np. 100:1/4 = 400), to podzie­le­nie przez 0 wpycha nas w otchłań nie­skoń­czo­no­ści. Nie­po­ko­jące to zero.

G64 (liczba Grahama)

Wyzna­cze­nie “naj­więk­szej liczby” to z wia­do­mych przyczyn zadanie bez­na­dziejne. Do każdej wartości o jakiej pomy­ślimy, zawsze możemy dodać jeden i tak – cytując klasyka – ad mortem defa­eca­tam. Dlatego jedyne o czym możemy roz­ma­wiać, to naj­więk­sze nazwane liczby, tudzież naj­więk­sze liczby mające jakieś zasto­so­wa­nie.

Przez długi czas rekord należał do googola (10100), opi­sa­nego przed wojną w książce autor­stwa Edwarda Kasnera (wszelkie sko­ja­rze­nia z ame­ry­kań­skim kon­cer­nem są uza­sad­nione). Jakiś czas później ktoś podniósł 10 do googola, wskutek czego narodził się potworek zwany googol­ple­xem (1010^100).

Jednak te wszyst­kie zabawy zdają się tracić na zna­cze­niu przy liczbie Grahama. Powstała ona jako wypad­kowa zaawan­so­wa­nych rozważań na temat teorii grafów. Jest ona tak olbrzy­mia, że nawet zapis z użyciem potęgi nie wchodzi w rachubę i należy sięgnąć do znacznie mniej popu­lar­nej notacji strzał­ko­wej autor­stwa Donalda Knutha (wyglą­da­łoby to tak: G64=3↑↑↑…↑↑↑3). Oczy­wi­ście teraz możecie wzruszyć ramio­nami i stwier­dzić, że to nie robi wrażenia, ponieważ nawet do czegoś takiego zawsze można dodać jeden. To prawda, ale liczba Grahama jest naj­więk­szą liczbą mającą zasto­so­wa­nie, ukutą przez mate­ma­tyka na potrzeby kon­kret­nego twier­dze­nia. Dla zain­te­re­so­wa­nych wstawiam filmik, z udziałem samego Ronalda Grahama.

Może to wyświech­tane, ale warto zauważyć, że żadna z przy­wo­ła­nych wartości nie ma swojego odbicia w przy­ro­dzie. Szacuje się, że liczba atomów budu­ją­cych wszyst­kie gwiazdy, mgławice, pulsary, planety, nasze ciała i co tam jeszcze chcecie – nie prze­kra­cza 1080. Oznacza to, iż cały widzialny wszech­świat zawiera mniej atomów od googola, nie wspo­mi­na­jąc już googol­ple­xie czy liczbie Grahama.

10120 (liczba Shannona)

Jeden z pio­nie­rów infor­ma­tyki, a pry­wat­nie zago­rzały sza­chi­sta – Claude Shannon – w 1950 roku opu­bli­ko­wał artykuł Pro­gram­ming a Computer for Playing Chess. Ame­ry­ka­nin rozważał w nim moż­li­wo­ści takiego zapro­gra­mo­wa­nia ówcze­snych pry­mi­tyw­nych maszyn obli­cze­nio­wych, aby były one w stanie rozegrać mecz szachowy. Przy tej okazji Shannon zain­spi­ro­wał swoich kolegów do osza­co­wa­nia wszyst­kich ruchów i kom­bi­na­cji dostęp­nych podczas roz­grywki. Jak się okazało, po dzie­się­ciu turach, zabawa może potoczyć się na ponad 69 bilionów sposobów. Przy czter­dzie­stu ruchach – a tyle wynosi średnia – liczba moż­li­wych gier wynosi już 10120, czyli liczbę Shannona.

Uczciwie trzeba przyznać, że jest to wartość prze­sza­co­wana, ponieważ uwzględ­nia również ruchy, których nikt przy zdrowych zmysłach by nie wykonał. W roz­sąd­nej roz­grywce liczba kom­bi­na­cji byłaby o 2/3 mniejsza – choć nadal mon­stru­alna.

1022 (liczba Sagana)

Cha­ry­zma­tyczny Carl Sagan słynął z niemal obse­syj­nego pod­kre­śla­nia nie­ogar­nię­tego ogromu wszech­świata. Tak często powta­rzał w swoich pro­gra­mach frazę billions and billions, aż ta na dobre wsiąkła w popkul­turę. Do tego stopnia, że zaczęto żar­to­bli­wie mówić o nowej jed­no­stce, gdzie jeden sagan równałby się czterem miliar­dom (w końcu chodzi o co najmniej dwa miliardy i kolejne co najmniej dwa miliardy).

Nie­za­leż­nie od tego pomysłu, już po śmierci ame­ry­kań­skiego astro­noma zapro­po­no­wano liczbę Sagana. Miałaby ona oznaczać mnogość wszyst­kich gwiazd obecnych we wszyst­kich galak­ty­kach w widzial­nym wszech­świe­cie. Sam Sagan spo­pu­la­ry­zo­wał twier­dze­nie, że taka liczba powinna być większa niż liczba wszyst­kich ziaren piasku na wszyst­kich plażach i pusty­niach Ziemi i wynosić w przy­bli­że­niu 1022. Obecnie szacuje się, że gwiazd we wszech­świe­cie jest co najmniej dziesięć razy więcej.

247

Zacząłem artykuł od wspo­mnie­nia para­doksu nie­cie­ka­wej liczby. Mate­ma­tyk z Oxfordu, Alex Bellos, zmierzył się z bardzo podobnym kłopotem. W wydanej kilka lat temu książce The Grapes of Math, zasu­ge­ro­wał, że naj­niż­szą praw­dzi­wie nudną liczbą jest 247. Nie dość, że nie wykazuje żadnych wyjąt­ko­wych wła­ści­wo­ści, to jeszcze była naj­niż­szą liczbą nie­po­sia­da­jącą własnej strony na ówcze­snej Wiki­pe­dii. Jak łatwo się domyśleć, inter­ne­towa ency­klo­pe­dia została szybko zak­tu­ali­zo­wana. 247 ma już własną stronę, na której widnieje m.in. infor­ma­cja o śmiałej tezie Bellosa.

Swoją drogą, ciekawe jaka jest obecnie naj­mniej­sza liczba nie­do­strze­żona przez wiki­pe­dy­stów.

282589933-1

Bez względu na epokę, liczby pierwsze pozo­stają oczkiem w głowach wszyst­kich pasjo­na­tów mate­ma­tyki. Co prawda wciąż nie roz­gryź­li­śmy zagadki ich rozkładu, ale nie prze­szka­dza nam to w dalszych sta­ra­niach oraz w odnaj­dy­wa­niu kolej­nych, rekor­dowo wielkich liczb pierw­szych. Od stycznia 2019 tytuł ten należy do 282589933-1, czyli liczby zawie­ra­ją­cej 24 miliony 862 tysięcy cyfr – o półtora miliona cyfr dłuższej od poprzed­niczki. Co ciekawe, tego typu wyników nie dostar­czają nam super­kom­pu­tery o wiel­ko­ści cię­ża­rówki, lecz amatorzy, udo­stęp­nia­jący moc obli­cze­niową swoich pecetów na rzecz programu Great Internet Mersenne Prime Search. W ten sposób zaszczyt odkrycia nowej naj­więk­szej liczby pierw­szej (będącej jed­no­cze­śnie naj­więk­szą liczbą Mersenne’a) i nagroda w wyso­ko­ści 3 tys. dolarów, przy­pa­dły Patric­kowi Laroche’owi – trzy­dzie­sto­pa­ro­let­niemu infor­ma­ty­kowi z Florydy.

Projekt GIMPS jest stale roz­wi­jany, więc w prze­ciągu następ­nych kil­ku­na­stu miesięcy praw­do­po­dob­nie powitamy nową rekor­dzistkę.

Liczby Szymborskiej

O liczbie pi mówi się dużo i wylewnie, więc zamiast ludol­finy posta­no­wi­łem umieścić w zesta­wie­niu powią­zane z nią liczby Szym­bor­skiej. Tak, dobrze myślicie. Chodzi o zmarłą w 2012 roku noblistkę w dzie­dzi­nie lite­ra­tury. Swego czasu Wisława Szym­bor­ska wydała tomik pod tytułem Wielka liczba, w którym znalazło się miejsce na wiersz Liczba pi.

Naj­dłuż­szy ziemski wąż po kil­ku­na­stu metrach się urywa
podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.
Korowód cyfr skła­da­ją­cych się na liczbę Pi
nie zatrzy­muje się na brzegu kartki,
potrafi ciągnąć się po stole, przez powie­trze,
przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,
przez całą nieba wzdętość i bez­den­ność.
O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!
Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzy­wia się w lada prze­strzeni!
A tu dwa trzy pięt­na­ście trzysta dzie­więt­na­ście
mój numer telefonu, twój numer koszuli
(…)
ale nie liczba Pi, co to to nie,
ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,
nie byle jakie osiem,
nie­ostat­nie siedem,
przy­na­gla­jąc, ach, przy­na­gla­jąc gnuśną wiecz­ność
do trwania.

~ W. Szym­bor­ska, “Liczba pi”

Mate­ma­tycy to raczej kiepscy poeci, a więk­szość poetów nie należy do elity mate­ma­ty­ków. A jednak, mimo­cho­dem Szym­bor­ska poczy­niła w swoim dziele inte­re­su­jące spo­strze­że­nie: skoro mamy do czy­nie­nia z liczbą nie­wy­mierną (3,141592653589…) to w jej nie­koń­czą­cym się roz­wi­nię­ciu, być może mogli­by­śmy odszukać dowolną liczbę natu­ralną, jak “mój numer telefonu, twój numer koszuli”. Jest to rze­czy­wi­sty problem mate­ma­tyczny. Tak, strumień cyfr w liczbie nie­wy­mier­nej ciągnie się bez końca, ale, po pierwsze nie muszą być to cyfry losowe, a po drugie szansa na wyła­pa­nie okre­ślo­nej sekwen­cji dra­stycz­nie spada wraz z jej dłu­go­ścią. O ile spo­tka­nie w roz­sze­rze­niu pi kon­kret­nej kil­ku­cy­fro­wej liczby wydaje się niemal pewne, o tyle natra­fie­nie na nasz numer konta ban­ko­wego już nie. Z drugiej strony, mamy do dys­po­zy­cji nie­skoń­czo­ność.

Jeśli chcecie sami poszukać jakiegoś roz­sąd­nie krót­kiego numeru w π, to powstało do tego nawet narzę­dzie dostępne pod adresem facade.com/legacy/amiinpi/. Rzecz jasna ma ono ogra­ni­czoną moc prze­ro­bową, ale przy odro­bi­nie szczę­ścia może się okazać, że wasza data uro­dze­nia lub kod pocztowy znajdują się gdzieś w pierw­szym milionie cyfr nastę­pu­ją­cych po 3,14…

42

Na zakoń­cze­nie pozo­sta­wi­łem liczbę, która na stałe zapisała się kulturze jako symbol prób zro­zu­mie­nia sensu ist­nie­nia. W słynnej powieści Auto­sto­pem przez galak­tykę Douglas Adams porusza wątek super­in­te­li­gent­nych istot, które skon­stru­owały naj­po­tęż­niej­szy (przy­naj­mniej do czasu) komputer wszech­świata. Głęboka myśl, jak go nazwano, został zapro­jek­to­wany wyłącz­nie po to, aby udzielić odpo­wie­dzi na “wielkie pytanie o życie, wszech­świat i całą resztę”. Ku uciesze pro­gra­mi­stów maszyna zgodziła się wyge­ne­ro­wać kon­kretną i prostą odpo­wiedź, ale był jeden haczyk: obli­cze­nia miały zająć… siedem i pół miliona lat.

Czci­godni potom­ko­wie zaawan­so­wa­nej cywi­li­za­cji nie zapo­mnieli o swojej misji i po 7,5 mln lat pełni pod­nie­ce­nia, znów zwrócili się do Głę­bo­kiej myśli. Jednak odpo­wiedź nie do końca ich usa­tys­fak­cjo­no­wała.

W porządku — rzekł komputer i znowu zamilkł. Obaj męż­czyźni zady­go­tali. Napięcie stawało się nie do znie­sie­nia.
Naprawdę nie spodoba się wam — powtór­nie zauważył Głęboka myśl.
Powiedz nam!
W porządku — ustąpił komputer. — Odpo­wiedź na wielkie pytanie…
Tak…!
O życie, wszech­świat i wszystko inne… — powie­dział Głęboka myśl.
Tak…!
Brzmi… — zaczął Głęboka Myśl i urwał. — Tak…!
Brzmi… nn — Tak…….
Czter­dzie­ści dwa — powie­dział Głęboka myśl z nie­skoń­czo­nym spokojem i maje­sta­tem.

~ D. Adams, “Auto­sto­pem przez galak­tykę”

Urzą­dze­nie było cał­ko­wi­cie pewne swojego wyniku, ale zauwa­żyło, że problem nie leży w odpo­wie­dzi, lecz w pytaniu. Dopiero właściwe zro­zu­mie­nie arcy­pro­blemu umożliwi poznanie istoty arcy­od­po­wie­dzi. Tu Głęboka myśl okazał się bezradny, oferując jednak pomoc w zapro­jek­to­wa­niu nowego, jeszcze wspa­nial­szego kom­pu­tera.

Choć sama liczba 42 nie posiada w rze­czy­wi­sto­ści żadnego ukrytego zna­cze­nia, w rewe­la­cyjny sposób, pod płasz­czy­kiem komedii, zmusiła umysły tysięcy czy­tel­ni­ków do całkiem poważnej reflek­sji epi­ste­mo­lo­gicz­nej. Czy pytanie o sens posiada w ogóle jakieś uza­sad­nie­nie? A jeśli tak, to czy byli­by­śmy w stanie je ogarnąć? I czy rze­czy­wi­ście jesteśmy na to gotowi?


Pamię­taj­cie, że na swój sposób każda liczba ma w sobie coś wyjąt­ko­wego, o czym możecie się prze­ko­nać choćby odwie­dza­jąc stronę What’s Special About This Number? Z mojej strony to tyle, 01100011011110100110010111000101100110111100010010000111.

Literatura uzupełniająca:
T. Crilly, Matematyka. 50 idei, które powinieneś znać, przeł. W. Bartol, Warszawa 2019;
I. Stewart, Liczby natury, przeł. M. Tempczyk, Warszawa 1996;
D. Adams, Autostopem przez galaktykę, przeł. A. Banaszak, Warszawa 1996;
W. Szymborska, Wielka liczba, Warszawa 1976;
C. Shannon, Programming a Computer for Playing Chess, “Philosophical Magazine”, ser. 7, vol. 41, marzec 1950;
Strona programu Great Internet Mersenne Prime Search, [online: www.mersenne.org].
  • BloodMan

    No cześć.

  • Jakub Dmowski

    “Swoją drogą, ciekawe jaka jest obecnie naj­mniej­sza liczba nie­do­strze­żona przez wiki­pe­dy­stów.” — nie wiem, czy się kwa­li­fi­kuje, ale 272 — ma jedynie pod­sek­cję w artykule o liczbie 270.

  • Krzysz­tof Dziamski

    “Tra­dy­cyj­nie, szcze­gólną w tym epokowym odkryciu przy­pi­suje się Brah­ma­gup­cie.” — chyba jakieś słówko się gdzieś zapo­działo 🙂

  • http://altronapoleone.home.blog Drakaina

    Fascy­nu­jące i dla huma­ni­sty wcale nie nudne! Mam tylko jedną prośbę: w
    łaciń­skie powie­dzonko wkradł się błąd orto­gra­ficzny: należy zmienić
    “defa­eca­tam” na “defe­ca­tam” 🙂

  • Ed Ukom

    Zde­cy­do­wa­nie brakuje w tym zesta­wie­niu jednej z naj­bar­dziej tajem­ni­czych liczb czyli 9

  • Mar­ko­nius

    Dodam że sagan jako jed­nostka miary jest nieobcy nam, Polakom 🙂

    Z punktu widzenia analizy mate­ma­tycz­nej liczby natu­ralne są jed­no­rodne, stanowią jakby grubą podziałkę na osi liczb rze­czy­wi­stych oraz dzie­dzinę ciągów. Cie­kaw­sze stają się dopiero w okolicy swojego jedynego punktu sku­pie­nia czyli w nie­skoń­czo­no­ści. Z punktu widzenia teorii liczby jest zupełnie inaczej, gdzie nie pogrze­bać zaraz mnożą się wyjąt­kowe cechy i oso­bli­wo­ści. Każda liczba natu­ralna jest zupełnie inna od pozo­sta­łych w sensie posia­da­nia różnych cech i wła­ści­wo­ści.