5 rzeczy, które powinieneś wiedzieć o liczbach pierwszych (i hipotezie Riemanna)

Czy pod maską chaosu może skrywać się porządek? To odwieczne pytanie gnębi każdego uczonego próbującego rozgryźć kod wszechświata. Jednak w sposób najbardziej bezpośredni – wręcz bezczelny – dręczy matematyków rozpatrujących liczby pierwsze i związaną z nimi zagadkę hipotezy Riemanna.

Świat nauki wstrzy­mał oddech. Podczas kon­fe­ren­cji zor­ga­ni­zo­wa­nej w nie­miec­kim Heidel­bergu, eme­ry­to­wany profesor Michael Atiyah publicz­nie przed­sta­wił wyniki swoich zmagań z hipotezą Riemanna. Pro­ble­mem nie­roz­wią­za­nym od prawie 160 lat i powszech­nie uważanym za naj­więk­szą łami­główkę współ­cze­snej mate­ma­tyki. Kwantowo nie jest miejscem poświę­co­nym mate­ma­tyce i nie mam zamiaru w poniż­szym tekście szcze­gó­łowo omawiać problemu funkcji dzeta Riemanna, ani tym bardziej oceniać odważnej szarży Atiyaha. Myślę jednak drogi Czy­tel­niku, że nawet jako nie-mate­ma­tyk masz prawo rozumieć na czym polega cały ambaras i jak wielkie jest zna­cze­nie liczb pierw­szych dla przy­szło­ści nauki. W tym również dla fizyki.

1. Rozkład liczb pierwszych wygląda na przypadkowy

Czym są liczby pierwsze infor­mują nas już szkolne pod­ręcz­niki. Naj­prost­sza defi­ni­cja mówi, że liczba pierwsza, to liczba natu­ralna większa od 1, która jest podzielna tylko przez 1 i samą siebie. Idea brzmi prosto i towa­rzy­szy ludz­ko­ści od czasów sta­ro­żyt­nych. O liczbach pierw­szych roz­pra­wiał już legen­darny Euklides w swoich Ele­men­tach, zaś Era­to­ste­nes z Cyreny obmyślił algorytm uła­twia­jący ich szybkie wyła­py­wa­nie. Jednak bez względu na obraną metodę (bo oczy­wi­ście pojawiło się ich znacznie więcej), naszym oczom ukaże się nastę­pu­jący zbiór: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43… i tak dalej. Czy dostrze­gasz tu jakąś zależ­ność? Gdybyś zobaczył taki ciąg jak 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… szybko odgadł­byś, że każdy kolejny wyraz będzie sumą dwóch poprzed­nich. To słynny ciąg Fibo­nac­ciego, możliwy do wyra­że­nia kon­kret­nym wzorem. Jednak przy okazji liczb pierw­szych takiej reguły nie widać. Wodząc wzrokiem po osi licz­bo­wej z ozna­czo­nymi liczbami pierw­szymi, nie dostrze­żemy żadnej pra­wi­dło­wo­ści, zaś odstępy pomiędzy nimi przy­bie­rają losowe rozmiary. Takie wyrazy jak 3 i 5, 5 i 7 lub 41 i 43 roz­dziela tylko jedna liczba. Pomiędzy 19 i 23 lub 43 i 47 pustki są już nieco większe. Naj­dłuż­sza ze znanych luk wystę­puje po liczbie pierw­szej 1425172824437699411 i zajmuje aż 1475 liczb. 

Czę­sto­tli­wość wystę­po­wa­nia liczb pierw­szych wydaje się cał­ko­wi­cie przy­pad­kowa. Ale czy to możliwe, aby u samych fun­da­men­tów rze­czy­wi­sto­ści, czymś tak pod­sta­wo­wym rządził naj­praw­dziw­szy chaos? To per­spek­tywa budząca dys­kom­fort nawet w umyśle laika, a co dopiero u tytanów mate­ma­tyki dostrze­ga­ją­cych wszędzie jasne zależ­no­ści i reguły.

2. Odnosi się do nich hipoteza Riemanna

Mate­ma­tyka żąda porządku i sche­ma­tów. Nic dziwnego, że wyzwanie liczb pierw­szych podej­mo­wali tacy mistrzo­wie jak Marin Mersenne, Leonhard Euler, Pierre de Fermat, Carl Gauss, Adrien-Marie Legendre, czy wreszcie Bernhard Riemann. Nas naj­bar­dziej inte­re­suje ostatni z wymie­nio­nych mędrców. Przed­wcze­śnie zmarły z powodu gruźlicy profesor Uni­wer­sy­tetu w Getyndze zdążył nie­praw­do­po­dob­nie posze­rzyć granice analizy mate­ma­tycz­nej, topo­lo­gii, geo­me­trii oraz teorii liczb. Jednak jego nazwisko pozo­staje wiecznie żywe przede wszyst­kim dzięki hipo­te­zie doty­czą­cej funkcji dzeta.

Spo­koj­nie, nie będę tu nawet podej­mo­wał hero­icz­nej próby tłu­ma­cze­nia, czym owa funkcja jest, bo nie jestem odpo­wied­nią osobą do tego zadania. Zresztą byłoby to nie­moż­liwe bez odwo­ła­nia się do szeregów, liczb zespo­lo­nych i kilku innych pojęć z zakresu zaawan­so­wa­nej mate­ma­tyki (ale jeśli fascy­nują Cię te sprawy, polecam zajrzeć zaprzy­jaź­nio­nego na bloga Być-Mate­ma­ty­kiem. Być może kilka komen­ta­rzy zmo­ty­wuje autora do poru­sze­nia tego problemu. Jeśli nie prze­szka­dza Ci angiel­ski i czujesz się na siłach, możesz również prze­wer­to­wać ten artykuł). Nie możemy jednak prze­mil­czeć faktu, iż funkcja dzeta opiera się na liczbach pierw­szych i – jak się okazało – skrywa klucz do naszej tajem­nicy. W 1859 roku 33-letni Riemann rzucił hipotezą brzmiącą nastę­pu­jąco: “Część rze­czy­wi­sta każdego nie­try­wial­nego zera funkcji ζ (dzeta) jest równa 1/2”. Uczony posta­no­wił wyzna­czyć miejsca zerowe funkcji, czyli dowie­dzieć się kiedy funkcja ζ(0) przyjmie wartość zero. Co to znaczy po nie­ma­te­ma­tycz­nemu? Na szczę­ście, skoro mamy do czy­nie­nia z funkcją, możemy posłużyć się przed­sta­wie­niem gra­ficz­nym:

Bernhard Riemann wyliczył cztery miejsca zerowe funkcji dzeta i dostrzegł coś nie­ty­po­wego: wszyst­kie leżały akurat w jednej pół­pro­stej, prze­ci­na­ją­cej poziomą oś (wyzna­cza­jącą część rze­czy­wi­stą liczby zespo­lo­nej) na wartości 1/2. Nosi ona nazwę linii kry­tycz­nej i została ozna­czona powyżej na czerwono. Genialny uczony wysnuł wniosek, że wszyst­kie nie­try­wialne zera tej funkcji powinny leżeć na linii kry­tycz­nej. Ozna­cza­łoby to wreszcie zna­le­zie­nie pewnej pra­wi­dło­wo­ści doty­czą­cej liczb pierw­szych. Problem polega na tym, że wyli­cze­nie kilku miejsc zerowych, w świetle mate­ma­tyki nie stanowi jeszcze dowodu i nikt nie może twier­dzić, że od reguły nie ma żadnego wyjątku. Właśnie dlatego mówimy o hipo­te­zie Riemanna, wciąż cze­ka­ją­cej na potwier­dze­nie lub obalenie.

3. To problem za milion dolarów

Trzy dekady po śmierci Bern­harda Riemanna odbyło się jedno z naj­cie­kaw­szych mate­ma­tycz­nych wydarzeń tamtej epoki – spo­tka­nie Mię­dzy­na­ro­do­wego Kongresu Mate­ma­ty­ków, zor­ga­ni­zo­wane latem 1900 roku w pary­skiej Sorbonie. Gwoź­dziem programu okazało się inspi­ru­jące wystą­pie­nie Davida Hilberta. Nowy gwiazdor Uni­wer­sy­tetu w Getyndze przed­sta­wił podczas prze­mó­wie­nia 23 problemy, sta­no­wiące jego zdaniem naj­waż­niej­sze wyzwania współ­cze­snej mate­ma­tyki. Miały one nie­jed­no­rodny cha­rak­ter, czasami przyj­mu­jąc formę kon­kretną, a czasem zbyt ogól­ni­kową, aby móc orzec o zna­le­zie­niu rze­czy­wi­stego roz­wią­za­nia. Mimo to ziarno zostało zasiane, lista wzbu­dziła dyskusje i okazała się na tyle ważna, że szybko przyjęła rolę nie­ofi­cjal­nego dro­go­wskazu dla całego poko­le­nia uczonych. Do dziś jedynie trzy spośród pro­ble­mów Hilberta czekają na właściwe wyja­śnie­nie – w tym numer ósmy na liście – hipoteza Riemanna. To dość zabawne, bowiem sam David Hilbert, w przy­pły­wie bez­gra­nicz­nego opty­mi­zmu, zaliczał zagadkę liczb pierw­szych do tych “łatwiej­szych”, obsta­wia­jąc, że zostanie ona roz­wi­kłana jeszcze za jego życia, a naj­pew­niej w prze­ciągu kilku lat.

Kto z nas nie byłby szczę­śliwy, gdyby udało mu się zedrzeć zasłonę kryjącą przy­szłość; rzucić okiem na przy­szłość postępów naszej nauki i jej rozwój w następ­nych stu­le­ciach? Jakie będą kon­kretne cele, do których dążyć będą wiodące umysły mate­ma­tyczne przy­szłych pokoleń? Jakie nowe metody i nowe fakty w sze­ro­kiej i bogatej dzie­dzi­nie myśli mate­ma­tycz­nej ujawnią nowe stulecia? (…) Takiego prze­glądu pro­ble­mów dotyczyć będzie dzi­siej­sze wystą­pie­nie, odby­wa­jące się na prze­ło­mie wieków, co wydaje się stosowne. Zamknię­cie kolejnej wielkiej epoki nie tylko zmo­ty­wuje nas do spoj­rze­nia za siebie, ale także pokie­ruje nasze myśli ku nie­zna­nej przy­szło­ści. (…)

To prze­ko­na­nie o moż­li­wo­ści roz­wią­za­nia każdego problemu mate­ma­tycz­nego stanowi silną zachętę dla naukow­ców. Słyszymy wie­czy­ste wezwanie: jest problem, więc szukaj jego roz­wią­za­nia. Zaś podaż pro­ble­mów w mate­ma­tyce jest nie­wy­czer­palna, gdy tylko jeden problem zostanie roz­wią­zany, na jego miejsce poja­wiają się kolejne. Pozwól­cie mi więc w dalszej części, choćby ogólnie, wspo­mnieć o kon­kret­nych pro­ble­mach, zaczerp­nię­tych z różnych dziedzin mate­ma­tyki, które mogą zade­cy­do­wać o postę­pach nauki.

~ David Hilbert w 1900 roku

Sto lat później Instytut Mate­ma­tyczny Claya – orga­ni­za­cja stwo­rzona przy udziale biz­nes­me­nów i naukow­ców zwią­za­nych z Harvar­dem – posta­no­wił pójść w ślady Hilberta i opu­bli­ko­wać nową listę mate­ma­tycz­nych pro­ble­mów. Wśród siódemki tzw. pro­ble­mów mile­nij­nych znalazło się miejsce tylko dla jednego punktu z poprzed­niego zesta­wie­nia, czyli hipotezy Riemanna. Jako zachętę dla mate­ma­ty­ków z całego globu usta­no­wiono nie­ba­ga­telną nagrodę pie­niężną. Za roz­wią­za­nie któ­re­go­kol­wiek z pro­ble­mów Instytut zobo­wią­zał się wypłacić okrągły milion dolarów. Jak dotąd jedyna taka okazja mogła mieć miejsce w 2006 roku, kiedy Grigorij Perelman potwier­dził hipotezę Poin­ca­régo. Mogła, ponieważ rosyjski eks­cen­tryk odmówił przy­ję­cia pie­nię­dzy, podobnie jak i wielu innych wyróż­nień.

Miliony za roz­wi­kła­nie pozo­sta­łych zagadek, w tym za udo­wod­nie­nie hipotezy Riemanna, wciąż czekają na odbiór.

4. Wielokrotnie obiecywano jego rozwiązanie

I bez moty­wa­cji pie­nięż­nej nigdy nie bra­ko­wało śmiałków pra­gną­cych roz­wi­kłać zagadkę liczb pierw­szych i zapewnić sobie wieczny splendor. Historia tych prób sięga niemal tak głęboko, jak dzieje samej hipotezy. Pierwszą obie­cu­jącą ofensywę przy­pu­ścił duet Godfrey Hardy i John Lit­tle­wood z Uni­wer­sy­tetu Cam­bridge. Jeśli regu­lar­nie czytasz Kwantowo, powi­nie­neś kojarzyć przy­naj­mniej nazwisko tego pierw­szego. To właśnie Hardy odkrył talent genial­nego samouka Sri­ni­vasy Rama­nu­jana, którego ściągnął do Anglii i wpro­wa­dził na naukowe salony – ale to tak na mar­gi­ne­sie. Roz­wią­za­nie hipotezy Riemanna, mogło wynieść Bry­tyj­czy­ków do rangi równej Eulerowi, Leib­ni­zowi czy New­to­nowi; jednak osta­teczny sukces okazał się nie­osią­galny. Mate­ma­tycy upraw­do­po­dob­nili domnie­ma­nia nie­miec­kiego mistrza, ale nie usunęli wszyst­kich wąt­pli­wo­ści. Dowiedli, iż na linii kry­tycz­nej może spo­czy­wać nie­skoń­cze­nie wiele punktów zerowych, jed­no­cze­śnie nie dowodząc, że mogą istnieć miejsca zerowe poza tą linią. Odkrycie cenne, lecz nie­wy­star­cza­jące.

Poja­wiali się kolejni: Atle Selberg, Hans Rade­ma­cher, czy – wciąż żyjący – Louis de Branges i Alain Connes. Jednak naj­bar­dziej znana i jed­no­cze­śnie naj­po­sęp­niej­sza pozo­staje historia Johna Nasha (na zdjęciu). W latach 50. nosił łatkę naj­bar­dziej obie­cu­ją­cego mate­ma­tyka młodego poko­le­nia, choć szerszą popu­lar­ność zyskał dzięki Nagro­dzie Nobla w dzie­dzi­nie ekonomii (czy wła­ści­wie Nagro­dzie Banku Szwecji) oraz opo­wia­da­ją­cemu o jego niedoli filmowi Piękny umysł. Gdy młokos trafił do Prin­ce­ton, zadzi­wiał swoich kolegów pomy­słami z zakresu geo­me­trii alge­bra­icz­nej, teorii gier i topo­lo­gii, oraz nie­orto­dok­syj­nymi metodami badań. Uko­ro­no­wa­niem pasma sukcesów miał być wykład z kwietnia 1959 roku, podczas którego młody geniusz obiecał przed­sta­wić dowód hipotezy Riemanna. Na widownię zgro­ma­dzoną na auli Uni­wer­sy­tetu Columbia czekał jednak wielki szok. Zamiast o liczbach pierw­szych, Nash zaczął bredzić bez ładu i składu. Umysł mate­ma­tyka stoczył się w odmęty schi­zo­fre­nii. Po wyjściu ze szpitala psy­chia­trycz­nego, Ame­ry­ka­nin porzucił karierę naukową i snuł się po kampusie nękany kolej­nymi atakami choroby. Zmarł w 2015 roku. Los Johna Nasha okrył hipotezę Riemanna wyjąt­kowo złą sławą. Zapewne jest wiele przesady w stwier­dze­niu, że to liczby pierwsze dopro­wa­dziły uczonego do sza­leń­stwa, jednak nie­wy­klu­czone, iż tyta­niczny wysiłek inte­lek­tu­alny pogłębił kiepski stan jego psychiki.

5. Liczby pierwsze mają znaczenie dla całej nauki

No dobrze, ale dlaczego w ogóle piszę tutaj o zagad­nie­niu na wskroś mate­ma­tycz­nym? Przecież mowa o liczbach – nie fizycz­nych obiek­tach, lecz bytach abs­trak­cyj­nych. Czy zapasy z liczbami pierw­szymi to jedynie sztuka dla sztuki? Próba udo­wod­nie­nia samemu sobie, że każdy kod wszech­świata da się odszy­fro­wać? Naukowy odpo­wied­nik hima­la­izmu, w którym chodzi o zdobycie kolej­nego szczytu?

Zde­cy­do­wa­nie nie. Pewnie nawet dziś miałeś okazję sko­rzy­stać z dobro­dziej­stwa liczb pierw­szych, jeśli np. doko­na­łeś przelewu ban­ko­wego. Wszyst­kie hasła i trans­ak­cje chro­nione są naj­pow­szech­niej­szym systemem szy­fro­wa­nia RSA, opartym właśnie o gene­ro­wane losowo, olbrzy­mie liczby pierwsze. Jednak znacznie cie­kaw­sze wydaje się ich zna­cze­nie w kon­tek­ście fizyki. W 1973 roku mate­ma­tyk z Michigan, Hugh Mont­go­mery, opu­bli­ko­wał hipotezę doty­czącą kore­la­cji par punktów zerowych w funkcji dzeta. Innymi słowy, udało mu się uchwycić zależ­ność rządzącą wystę­po­wa­niem punktów zerowych na linii kry­tycz­nej. Mont­go­mery nie wiedział jednak, że sfor­mu­ło­wany przez niego wzór (a przy­naj­mniej jego fragment) był już znany… fizykom. To praw­dziwa bomba: bliź­nia­cza pra­wi­dło­wość wystę­puje w funkcji dzeta Riemanna oraz w funkcji opi­su­ją­cej poziomy ener­ge­tyczne atomu.

Przy­pa­dek? Nie sądzę. A to jeszcze nie wszystko. Pamię­tasz może o co chodziło w eks­pe­ry­men­cie Casimira? Było to wspa­niałe doświad­cze­nie dowo­dzące ist­nie­nia nie­ze­ro­wej energii próżni (a więc tzw. cząstek wir­tu­al­nych), której obecność dopro­wa­dzała do zbli­że­nia się dwóch rów­no­le­gle uło­żo­nych płytek. Poziom tej energii daje się wyliczyć również sięgając po starą, dobrą funkcję dzeta. Tego rodzaju zdu­mie­wa­ją­cych związków fizyki i liczb pierw­szych istnieje bez wąt­pie­nia znacznie więcej. 

Nie chcę się zaga­lo­po­wać i pisać o tym, że liczby pierwsze stanowią klucz do teorii wszyst­kiego. Na tak pom­pa­tyczne stwier­dze­nia jest zde­cy­do­wa­nie zbyt wcześnie. Nie da się jednak ukryć, że odkrycie prawideł rzą­dzą­cych fun­da­men­tem mate­ma­tyki może rzucić nieco nowego światła na stare teorie. Być może prze­war­to­ściu­jemy nasze rozu­mie­nie mecha­niki kwan­to­wej i fizyki cząstek ele­men­tar­nych. Może zyskamy wska­zówkę, która nakie­ruje nas na trop całkiem nowych kon­cep­cji lub przy­śpie­szy ideę wielkiej uni­fi­ka­cji. Właśnie dlatego świat nauki tak żarliwie pożąda dowodu hipotezy Riemanna. Możemy być pewni, że jeśli praca Michaela Atiyaha okaże się chybiona (co jest całkiem praw­do­po­dobne), wnet znajdą się kolejni mate­ma­tycy, którzy podejmą wyzwanie.

Literatura uzupełniająca:
J. Derbyshire, Obsesja liczb pierwszych. Bernhard Riemann i największy nierozwiązany problem w matematyce, przeł. R. Kirwiel, Poznań 2009;
B. Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, [online: https://www.claymath.org/sites/default/files/zeta.pdf]
K. Steckles, What is the Riemann Hypothesis?, [online: https://scilogs.spektrum.de/hlf/what-is-the-riemann-hypothesis/];
E. Bomberi, Problems of the Millennium: the Riemann Hypothesis, [online: https://claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf];
The Cosmic Code Breakers. The Struggle to Prove the Riemann Hypothesis, prod. Planete 2009.