5 rzeczy, które powinieneś wiedzieć o liczbach pierwszych (i hipotezie Riemanna)

Czy pod maską chaosu kryje się porządek? To odwieczne pytanie gnębi każdego uczonego próbującego rozgryźć kod wszechświata. Jednak w sposób najbardziej bezpośredni – wręcz bezczelny – dręczy matematyków rozpatrujących liczby pierwsze i związaną z nimi zagadkę hipotezy Riemanna.

Liczby pierwsze to coś bardzo specyficznego, wyjątkowo wyszukanego. Trudno wyobrazić sobie jakąś radioaktywną plazmę albo eksplodującą galaktykę, która regularnie posyła nam taki matematyczny wzór. Zadaniem tych liczb jest więc tylko przyciągnąć naszą uwagę.

Fragment “Kontaktu” C. Sagana

Świat nauki wstrzymał oddech. Podczas konferencji zorganizowanej w niemieckim Heidelbergu, emerytowany profesor Michael Atiyah publicznie przedstawił wyniki swoich zmagań z hipotezą Riemanna. Problemem nierozwiązanym od prawie 160 lat i powszechnie uważanym za największą łamigłówkę współczesnej matematyki. Kwantowo nie jest miejscem poświęconym matematyce i nie mam zamiaru w poniższym tekście szczegółowo omawiać problemu funkcji dzeta Riemanna, ani tym bardziej oceniać odważnej szarży Atiyaha. Myślę jednak drogi Czytelniku, że nawet jako nie-matematyk masz prawo rozumieć na czym polega cały ambaras i jak wielkie jest znaczenie liczb pierwszych dla przyszłości nauki. W tym również dla fizyki.

1. Rozkład liczb pierwszych wygląda na przypadkowy

Czym są liczby pierwsze informują nas już szkolne podręczniki. Najprostsza definicja mówi, że liczba pierwsza, to liczba naturalna większa od 1, która jest podzielna tylko przez 1 i samą siebie. Idea brzmi prosto i towarzyszy ludzkości od czasów starożytnych. O liczbach pierwszych rozprawiał już legendarny Euklides w swoich Elementach, zaś Eratostenes z Cyreny obmyślił algorytm ułatwiający ich szybkie wyłapywanie. Jednak bez względu na obraną metodę (bo oczywiście pojawiło się ich znacznie więcej), naszym oczom ukaże się następujący zbiór: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43… i tak dalej. Czy dostrzegasz tu jakąś zależność? Gdybyś zobaczył taki ciąg jak 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… szybko odgadłbyś, że każdy kolejny wyraz będzie sumą dwóch poprzednich. To słynny ciąg Fibonacciego, możliwy do wyrażenia konkretnym wzorem. Jednak przy okazji liczb pierwszych takiej reguły nie widać. Wodząc wzrokiem po osi liczbowej z oznaczonymi liczbami pierwszymi, nie dostrzeżemy żadnej prawidłowości, zaś odstępy pomiędzy nimi przybierają losowe rozmiary. Takie wyrazy jak 3 i 5, 5 i 7 lub 41 i 43 rozdziela tylko jedna liczba. Pomiędzy 19 i 23 lub 43 i 47 pustki są już nieco większe. Najdłuższa ze znanych luk występuje po liczbie pierwszej 1425172824437699411 i zajmuje aż 1475 liczb. 

Podryw na liczby pierwsze
Mimo swojej wspaniałości, liczby pierwsze to kiepski sposób na podryw.

Częstotliwość występowania liczb pierwszych wydaje się całkowicie przypadkowa. Ale czy to możliwe, aby u samych fundamentów rzeczywistości, czymś tak podstawowym rządził najprawdziwszy chaos? To perspektywa budząca dyskomfort nawet w umyśle laika, a co dopiero u tytanów matematyki dostrzegających wszędzie jasne zależności i reguły.

2. Odnosi się do nich hipoteza Riemanna

Matematyka żąda porządku i schematów. Nic dziwnego, że wyzwanie liczb pierwszych podejmowali tacy mistrzowie jak Marin Mersenne, Leonhard Euler, Pierre de Fermat, Carl Gauss, Adrien-Marie Legendre, czy wreszcie Bernhard Riemann. Nas najbardziej interesuje ostatni z wymienionych mędrców. Przedwcześnie zmarły z powodu gruźlicy profesor Uniwersytetu w Getyndze zdążył nieprawdopodobnie poszerzyć granice analizy matematycznej, topologii, geometrii oraz teorii liczb. Jednak jego nazwisko pozostaje wiecznie żywe przede wszystkim dzięki hipotezie dotyczącej funkcji dzeta.

Funkcja dzeta Riemanna

Spokojnie, nie będę tu nawet podejmował heroicznej próby tłumaczenia, czym owa funkcja jest, bo nie jestem odpowiednią osobą do tego zadania. Zresztą byłoby to niemożliwe bez odwołania się do szeregów, liczb zespolonych i kilku innych pojęć z zakresu zaawansowanej matematyki (ale jeśli fascynują Cię te sprawy, polecam zajrzeć zaprzyjaźnionego na bloga Być-Matematykiem. Być może kilka komentarzy zmotywuje autora do poruszenia tego problemu. Jeśli nie przeszkadza Ci angielski i czujesz się na siłach, możesz również przewertować ten artykuł).

Nie możemy jednak przemilczeć faktu, iż funkcja dzeta opiera się na liczbach pierwszych i – jak się okazało – skrywa klucz do naszej tajemnicy. W 1859 roku 33-letni Riemann rzucił hipotezą brzmiącą następująco: “Część rzeczywista każdego nietrywialnego zera funkcji ζ (dzeta) jest równa 1/2”. Uczony postanowił wyznaczyć miejsca zerowe funkcji, czyli dowiedzieć się kiedy funkcja ζ(0) przyjmie wartość zero. Co to znaczy po niematematycznemu? Na szczęście, skoro mamy do czynienia z funkcją, możemy posłużyć się przedstawieniem graficznym:

Hipoteza Riemanna na układzie

Bernhard Riemann wyliczył cztery miejsca zerowe funkcji dzeta i dostrzegł coś nietypowego: wszystkie leżały akurat w jednej półprostej, przecinającej poziomą oś (wyznaczającą część rzeczywistą liczby zespolonej) na wartości 1/2. Nosi ona nazwę linii krytycznej i została oznaczona powyżej na czerwono. Genialny uczony wysnuł wniosek, że wszystkie nietrywialne zera tej funkcji powinny leżeć na linii krytycznej. Oznaczałoby to wreszcie znalezienie pewnej prawidłowości dotyczącej liczb pierwszych. Problem polega na tym, że wyliczenie kilku miejsc zerowych, w świetle matematyki nie stanowi jeszcze dowodu i nikt nie może twierdzić, że od reguły nie ma żadnego wyjątku. Właśnie dlatego mówimy o hipotezie Riemanna, wciąż czekającej na potwierdzenie lub obalenie.

3. To problem za milion dolarów

Funkcja dzeta Batmana

Trzy dekady po śmierci Bernharda Riemanna odbyło się jedno z najciekawszych matematycznych wydarzeń tamtej epoki – spotkanie Międzynarodowego Kongresu Matematyków, zorganizowane latem 1900 roku w paryskiej Sorbonie. Gwoździem programu okazało się inspirujące wystąpienie Davida Hilberta. Nowy gwiazdor Uniwersytetu w Getyndze przedstawił podczas przemówienia 23 problemy, stanowiące jego zdaniem najważniejsze wyzwania współczesnej matematyki. Miały one niejednorodny charakter, czasami przyjmując formę konkretną, a czasem zbyt ogólnikową, aby móc orzec o znalezieniu rzeczywistego rozwiązania. Mimo to ziarno zostało zasiane, lista wzbudziła dyskusje i okazała się na tyle ważna, że szybko przyjęła rolę nieoficjalnego drogowskazu dla całego pokolenia uczonych. Do dziś jedynie trzy spośród problemów Hilberta czekają na właściwe wyjaśnienie – w tym numer ósmy na liście – hipoteza Riemanna. To dość zabawne, bowiem sam David Hilbert, w przypływie bezgranicznego optymizmu, zaliczał zagadkę liczb pierwszych do tych “łatwiejszych”, obstawiając, że zostanie ona rozwikłana jeszcze za jego życia, a najpewniej w przeciągu kilku lat.

Kto z nas nie byłby szczęśliwy, gdyby udało mu się zedrzeć zasłonę kryjącą przyszłość; rzucić okiem na przyszłość postępów naszej nauki i jej rozwój w następnych stuleciach? Jakie będą konkretne cele, do których dążyć będą wiodące umysły matematyczne przyszłych pokoleń? Jakie nowe metody i nowe fakty w szerokiej i bogatej dziedzinie myśli matematycznej ujawnią nowe stulecia? (…) Takiego przeglądu problemów dotyczyć będzie dzisiejsze wystąpienie, odbywające się na przełomie wieków, co wydaje się stosowne. Zamknięcie kolejnej wielkiej epoki nie tylko zmotywuje nas do spojrzenia za siebie, ale także pokieruje nasze myśli ku nieznanej przyszłości. (…) To przekonanie o możliwości rozwiązania każdego problemu matematycznego stanowi silną zachętę dla naukowców. Słyszymy wieczyste wezwanie: jest problem, więc szukaj jego rozwiązania. Zaś podaż problemów w matematyce jest niewyczerpalna, gdy tylko jeden problem zostanie rozwiązany, na jego miejsce pojawiają się kolejne. Pozwólcie mi więc w dalszej części, choćby ogólnie, wspomnieć o konkretnych problemach, zaczerpniętych z różnych dziedzin matematyki, które mogą zadecydować o postępach nauki.

David Hilbert w 1900 roku

Sto lat później Instytut Matematyczny Claya – organizacja stworzona przy udziale biznesmenów i naukowców związanych z Harvardem – postanowił pójść w ślady Hilberta i opublikować nową listę matematycznych problemów. Wśród siódemki tzw. problemów milenijnych znalazło się miejsce tylko dla jednego punktu z poprzedniego zestawienia, czyli hipotezy Riemanna. Jako zachętę dla matematyków z całego globu ustanowiono niebagatelną nagrodę pieniężną. Za rozwiązanie któregokolwiek z problemów Instytut zobowiązał się wypłacić okrągły milion dolarów. Jak dotąd jedyna taka okazja mogła mieć miejsce w 2006 roku, kiedy Grigorij Perelman potwierdził hipotezę Poincarégo. Mogła, ponieważ rosyjski ekscentryk odmówił przyjęcia pieniędzy, podobnie jak i wielu innych wyróżnień.

Miliony za rozwikłanie pozostałych zagadek, w tym za udowodnienie hipotezy Riemanna, wciąż czekają na odbiór.

4. Wielokrotnie obiecywano jego rozwiązanie

I bez motywacji pieniężnej nigdy nie brakowało śmiałków pragnących rozwikłać zagadkę liczb pierwszych i zapewnić sobie wieczny splendor. Historia tych prób sięga niemal tak głęboko, jak dzieje samej hipotezy. Pierwszą obiecującą ofensywę przypuścił duet Godfrey Hardy i John Littlewood z Uniwersytetu Cambridge. Jeśli regularnie czytasz Kwantowo, powinieneś kojarzyć przynajmniej nazwisko tego pierwszego. To właśnie Hardy odkrył talent genialnego samouka Srinivasy Ramanujana, którego ściągnął do Anglii i wprowadził na naukowe salony – ale to tak na marginesie. Rozwiązanie hipotezy Riemanna, mogło wynieść Brytyjczyków do rangi równej Eulerowi, Leibnizowi czy Newtonowi; jednak ostateczny sukces okazał się nieosiągalny. Matematycy uprawdopodobnili domniemania niemieckiego mistrza, ale nie usunęli wszystkich wątpliwości. Dowiedli, iż na linii krytycznej może spoczywać nieskończenie wiele punktów zerowych, jednocześnie nie dowodząc, że mogą istnieć miejsca zerowe poza tą linią. Odkrycie cenne, lecz niewystarczające.

John Nash próbował rozgryźć hipotezę Riemanna
John Nash (1928-2015) – jeden z wielu matematyków, którzy polegli w starciu z hipotezą Riemanna.

Pojawiali się kolejni: Atle Selberg, Hans Rademacher, czy – wciąż żyjący – Louis de Branges i Alain Connes. Jednak najbardziej znana i jednocześnie najposępniejsza pozostaje historia Johna Nasha (na zdjęciu). W latach 50. nosił łatkę najbardziej obiecującego matematyka młodego pokolenia, choć szerszą popularność zyskał dzięki Nagrodzie Nobla w dziedzinie ekonomii (czy właściwie Nagrodzie Banku Szwecji) oraz opowiadającemu o jego niedoli filmowi Piękny umysł. Gdy młokos trafił do Princeton, zadziwiał swoich kolegów pomysłami z zakresu geometrii algebraicznej, teorii gier i topologii, oraz nieortodoksyjnymi metodami badań.

Ukoronowaniem pasma sukcesów miał być wykład z kwietnia 1959 roku, podczas którego młody geniusz obiecał przedstawić dowód hipotezy Riemanna. Na widownię zgromadzoną na auli Uniwersytetu Columbia czekał jednak wielki szok. Zamiast o liczbach pierwszych, Nash zaczął bredzić bez ładu i składu. Umysł matematyka stoczył się w odmęty schizofrenii. Po wyjściu ze szpitala psychiatrycznego, Amerykanin porzucił karierę naukową i snuł się po kampusie nękany kolejnymi atakami choroby. Zmarł w 2015 roku. Los Johna Nasha okrył hipotezę Riemanna wyjątkowo złą sławą. Zapewne jest wiele przesady w stwierdzeniu, że to liczby pierwsze doprowadziły uczonego do szaleństwa, jednak niewykluczone, iż tytaniczny wysiłek intelektualny pogłębił kiepski stan jego psychiki.

5. Liczby pierwsze mają znaczenie dla całej nauki

No dobrze, ale dlaczego w ogóle piszę tutaj o zagadnieniu na wskroś matematycznym? Przecież mowa o liczbach – nie fizycznych obiektach, lecz bytach abstrakcyjnych. Czy zapasy z liczbami pierwszymi to jedynie sztuka dla sztuki? Próba udowodnienia samemu sobie, że każdy kod wszechświata da się odszyfrować? Naukowy odpowiednik himalaizmu, w którym chodzi o zdobycie kolejnego szczytu?

Liczby pierwsze są wszędzie

Zdecydowanie nie. Pewnie nawet dziś miałeś okazję skorzystać z dobrodziejstwa liczb pierwszych, jeśli np. dokonałeś przelewu bankowego. Wszystkie hasła i transakcje chronione są najpowszechniejszym systemem szyfrowania RSA, opartym właśnie o generowane losowo, olbrzymie liczby pierwsze. Jednak znacznie ciekawsze wydaje się ich znaczenie w kontekście fizyki. W 1973 roku matematyk z Michigan, Hugh Montgomery, opublikował hipotezę dotyczącą korelacji par punktów zerowych w funkcji dzeta. Innymi słowy, udało mu się uchwycić zależność rządzącą występowaniem punktów zerowych na linii krytycznej. Montgomery nie wiedział jednak, że sformułowany przez niego wzór (a przynajmniej jego fragment) był już znany… fizykom. To prawdziwa bomba: bliźniacza prawidłowość występuje w funkcji dzeta Riemanna oraz w funkcji opisującej poziomy energetyczne atomu.

Przypadek? Nie sądzę. A to jeszcze nie wszystko. Pamiętasz może o co chodziło w eksperymencie Casimira? Było to wspaniałe doświadczenie dowodzące istnienia niezerowej energii próżni (a więc tzw. cząstek wirtualnych), której obecność doprowadzała do zbliżenia się dwóch równolegle ułożonych płytek. Poziom tej energii daje się wyliczyć również sięgając po starą, dobrą funkcję dzeta. Tego rodzaju zdumiewających związków fizyki i liczb pierwszych istnieje bez wątpienia znacznie więcej. 

Nie chcę się zagalopować i pisać o tym, że liczby pierwsze stanowią klucz do teorii wszystkiego. Na tak pompatyczne stwierdzenia jest zdecydowanie zbyt wcześnie. Nie da się jednak ukryć, że odkrycie prawideł rządzących fundamentem matematyki może rzucić nieco nowego światła na stare teorie. Być może przewartościujemy nasze rozumienie mechaniki kwantowej i fizyki cząstek elementarnych. Może zyskamy wskazówkę, która nakieruje nas na trop całkiem nowych koncepcji lub przyśpieszy ideę wielkiej unifikacji. Właśnie dlatego świat nauki tak żarliwie pożąda dowodu hipotezy Riemanna. Możemy być pewni, że jeśli praca Michaela Atiyaha okaże się chybiona (co jest całkiem prawdopodobne), wnet znajdą się kolejni matematycy, którzy podejmą wyzwanie.

Literatura uzupełniająca:
J. Derbyshire, Obsesja liczb pierwszych. Bernhard Riemann i największy nierozwiązany problem w matematyce, przeł. R. Kirwiel, Poznań 2009;
B. Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, [online: https://www.claymath.org/sites/default/files/zeta.pdf]
K. Steckles, What is the Riemann Hypothesis?, [online: https://scilogs.spektrum.de/hlf/what-is-the-riemann-hypothesis/];
E. Bomberi, Problems of the Millennium: the Riemann Hypothesis, [online: https://claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf];
The Cosmic Code Breakers. The Struggle to Prove the Riemann Hypothesis, prod. Planete 2009.
Fale, cząstki i zabawy z dwoma szczelinami Demoniczny silnik Leó Szilárda Kwantowe interpretacje: statystyka Borna