Czytaj dalej

Czy pod maską chaosu może skrywać się porządek? To odwieczne pytanie gnębi każdego uczonego próbującego rozgryźć kod wszechświata. Jednak w sposób najbardziej bezpośredni – wręcz bezczelny – dręczy matematyków rozpatrujących liczby pierwsze i związaną z nimi zagadkę hipotezy Riemanna.

Liczby pierwsze to coś bardzo spe­cy­ficz­nego, wyjąt­kowo wyszu­ka­nego. Trudno wyobra­zić sobie jakąś radio­ak­tywną plazmę albo eks­plo­du­jącą galak­tykę, która regu­lar­nie posyła nam taki mate­ma­tyczny wzór. Zadaniem tych liczb jest więc tylko przy­cią­gnąć naszą uwagę. 

Fragment “Kontaktu” C. Sagana

Świat nauki wstrzy­mał oddech. Podczas kon­fe­ren­cji zor­ga­ni­zo­wa­nej w nie­miec­kim Heidel­bergu, eme­ry­to­wany profesor Michael Atiyah publicz­nie przed­sta­wił wyniki swoich zmagań z hipotezą Riemanna. Pro­ble­mem nie­roz­wią­za­nym od prawie 160 lat i powszech­nie uważanym za naj­więk­szą łami­główkę współ­cze­snej mate­ma­tyki. Kwantowo nie jest miejscem poświę­co­nym mate­ma­tyce i nie mam zamiaru w poniż­szym tekście szcze­gó­łowo omawiać problemu funkcji dzeta Riemanna, ani tym bardziej oceniać odważnej szarży Atiyaha. Myślę jednak drogi Czy­tel­niku, że nawet jako nie-mate­ma­tyk masz prawo rozumieć na czym polega cały ambaras i jak wielkie jest zna­cze­nie liczb pierw­szych dla przy­szło­ści nauki. W tym również dla fizyki. 

1. Rozkład liczb pierwszych wygląda na przypadkowy

Czym są liczby pierwsze infor­mują nas już szkolne pod­ręcz­niki. Naj­prost­sza defi­ni­cja mówi, że liczba pierwsza, to liczba natu­ralna większa od 1, która jest podzielna tylko przez 1 i samą siebie. Idea brzmi prosto i towa­rzy­szy ludz­ko­ści od czasów sta­ro­żyt­nych. O liczbach pierw­szych roz­pra­wiał już legen­darny Euklides w swoich Ele­men­tach, zaś Era­to­ste­nes z Cyreny obmyślił algorytm uła­twia­jący ich szybkie wyła­py­wa­nie. Jednak bez względu na obraną metodę (bo oczy­wi­ście pojawiło się ich znacznie więcej), naszym oczom ukaże się nastę­pu­jący zbiór: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43… i tak dalej. Czy dostrze­gasz tu jakąś zależ­ność? Gdybyś zobaczył taki ciąg jak 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… szybko odgadł­byś, że każdy kolejny wyraz będzie sumą dwóch poprzed­nich. To słynny ciąg Fibo­nac­ciego, możliwy do wyra­że­nia kon­kret­nym wzorem. Jednak przy okazji liczb pierw­szych takiej reguły nie widać. Wodząc wzrokiem po osi licz­bo­wej z ozna­czo­nymi liczbami pierw­szymi, nie dostrze­żemy żadnej pra­wi­dło­wo­ści, zaś odstępy pomiędzy nimi przy­bie­rają losowe rozmiary. Takie wyrazy jak 3 i 5, 5 i 7 lub 41 i 43 roz­dziela tylko jedna liczba. Pomiędzy 19 i 23 lub 43 i 47 pustki są już nieco większe. Naj­dłuż­sza ze znanych luk wystę­puje po liczbie pierw­szej 1425172824437699411 i zajmuje aż 1475 liczb. 

Podryw na liczby pierwsze
Mimo swojej wspa­nia­ło­ści, liczby pierwsze to kiepski sposób na podryw.

Czę­sto­tli­wość wystę­po­wa­nia liczb pierw­szych wydaje się cał­ko­wi­cie przy­pad­kowa. Ale czy to możliwe, aby u samych fun­da­men­tów rze­czy­wi­sto­ści, czymś tak pod­sta­wo­wym rządził naj­praw­dziw­szy chaos? To per­spek­tywa budząca dys­kom­fort nawet w umyśle laika, a co dopiero u tytanów mate­ma­tyki dostrze­ga­ją­cych wszędzie jasne zależ­no­ści i reguły. 

2. Odnosi się do nich hipoteza Riemanna

Mate­ma­tyka żąda porządku i sche­ma­tów. Nic dziwnego, że wyzwanie liczb pierw­szych podej­mo­wali tacy mistrzo­wie jak Marin Mersenne, Leonhard Euler, Pierre de Fermat, Carl Gauss, Adrien-Marie Legendre, czy wreszcie Bernhard Riemann. Nas naj­bar­dziej inte­re­suje ostatni z wymie­nio­nych mędrców. Przed­wcze­śnie zmarły z powodu gruźlicy profesor Uni­wer­sy­tetu w Getyndze zdążył nie­praw­do­po­dob­nie posze­rzyć granice analizy mate­ma­tycz­nej, topo­lo­gii, geo­me­trii oraz teorii liczb. Jednak jego nazwisko pozo­staje wiecznie żywe przede wszyst­kim dzięki hipo­te­zie doty­czą­cej funkcji dzeta. 

Funkcja dzeta Riemanna

Spo­koj­nie, nie będę tu nawet podej­mo­wał hero­icz­nej próby tłu­ma­cze­nia, czym owa funkcja jest, bo nie jestem odpo­wied­nią osobą do tego zadania. Zresztą byłoby to nie­moż­liwe bez odwo­ła­nia się do szeregów, liczb zespo­lo­nych i kilku innych pojęć z zakresu zaawan­so­wa­nej mate­ma­tyki (ale jeśli fascy­nują Cię te sprawy, polecam zajrzeć zaprzy­jaź­nio­nego na bloga Być-Mate­ma­ty­kiem. Być może kilka komen­ta­rzy zmo­ty­wuje autora do poru­sze­nia tego problemu. Jeśli nie prze­szka­dza Ci angiel­ski i czujesz się na siłach, możesz również prze­wer­to­wać ten artykuł). Nie możemy jednak prze­mil­czeć faktu, iż funkcja dzeta opiera się na liczbach pierw­szych i – jak się okazało – skrywa klucz do naszej tajem­nicy. W 1859 roku 33-letni Riemann rzucił hipotezą brzmiącą nastę­pu­jąco: “Część rze­czy­wi­sta każdego nie­try­wial­nego zera funkcji ζ (dzeta) jest równa 1/2”. Uczony posta­no­wił wyzna­czyć miejsca zerowe funkcji, czyli dowie­dzieć się kiedy funkcja ζ(0) przyjmie wartość zero. Co to znaczy po nie­ma­te­ma­tycz­nemu? Na szczę­ście, skoro mamy do czy­nie­nia z funkcją, możemy posłużyć się przed­sta­wie­niem graficznym: 

Hipoteza Riemanna na układzie

Bernhard Riemann wyliczył cztery miejsca zerowe funkcji dzeta i dostrzegł coś nie­ty­po­wego: wszyst­kie leżały akurat w jednej pół­pro­stej, prze­ci­na­ją­cej poziomą oś (wyzna­cza­jącą część rze­czy­wi­stą liczby zespo­lo­nej) na wartości 1/2. Nosi ona nazwę linii kry­tycz­nej i została ozna­czona powyżej na czerwono. Genialny uczony wysnuł wniosek, że wszyst­kie nie­try­wialne zera tej funkcji powinny leżeć na linii kry­tycz­nej. Ozna­cza­łoby to wreszcie zna­le­zie­nie pewnej pra­wi­dło­wo­ści doty­czą­cej liczb pierw­szych. Problem polega na tym, że wyli­cze­nie kilku miejsc zerowych, w świetle mate­ma­tyki nie stanowi jeszcze dowodu i nikt nie może twier­dzić, że od reguły nie ma żadnego wyjątku. Właśnie dlatego mówimy o hipo­te­zie Riemanna, wciąż cze­ka­ją­cej na potwier­dze­nie lub obalenie. 

3. To problem za milion dolarów

Funkcja dzeta Batmana

Trzy dekady po śmierci Bern­harda Riemanna odbyło się jedno z naj­cie­kaw­szych mate­ma­tycz­nych wydarzeń tamtej epoki – spo­tka­nie Mię­dzy­na­ro­do­wego Kongresu Mate­ma­ty­ków, zor­ga­ni­zo­wane latem 1900 roku w pary­skiej Sorbonie. Gwoź­dziem programu okazało się inspi­ru­jące wystą­pie­nie Davida Hilberta. Nowy gwiazdor Uni­wer­sy­tetu w Getyndze przed­sta­wił podczas prze­mó­wie­nia 23 problemy, sta­no­wiące jego zdaniem naj­waż­niej­sze wyzwania współ­cze­snej mate­ma­tyki. Miały one nie­jed­no­rodny cha­rak­ter, czasami przyj­mu­jąc formę kon­kretną, a czasem zbyt ogól­ni­kową, aby móc orzec o zna­le­zie­niu rze­czy­wi­stego roz­wią­za­nia. Mimo to ziarno zostało zasiane, lista wzbu­dziła dyskusje i okazała się na tyle ważna, że szybko przyjęła rolę nie­ofi­cjal­nego dro­go­wskazu dla całego poko­le­nia uczonych. Do dziś jedynie trzy spośród pro­ble­mów Hilberta czekają na właściwe wyja­śnie­nie – w tym numer ósmy na liście – hipoteza Riemanna. To dość zabawne, bowiem sam David Hilbert, w przy­pły­wie bez­gra­nicz­nego opty­mi­zmu, zaliczał zagadkę liczb pierw­szych do tych “łatwiej­szych”, obsta­wia­jąc, że zostanie ona roz­wi­kłana jeszcze za jego życia, a naj­pew­niej w prze­ciągu kilku lat.

Kto z nas nie byłby szczę­śliwy, gdyby udało mu się zedrzeć zasłonę kryjącą przy­szłość; rzucić okiem na przy­szłość postępów naszej nauki i jej rozwój w następ­nych stu­le­ciach? Jakie będą kon­kretne cele, do których dążyć będą wiodące umysły mate­ma­tyczne przy­szłych pokoleń? Jakie nowe metody i nowe fakty w sze­ro­kiej i bogatej dzie­dzi­nie myśli mate­ma­tycz­nej ujawnią nowe stulecia? (…) Takiego prze­glądu pro­ble­mów dotyczyć będzie dzi­siej­sze wystą­pie­nie, odby­wa­jące się na prze­ło­mie wieków, co wydaje się stosowne. Zamknię­cie kolejnej wielkiej epoki nie tylko zmo­ty­wuje nas do spoj­rze­nia za siebie, ale także pokie­ruje nasze myśli ku nie­zna­nej przyszłości. (…)

To prze­ko­na­nie o moż­li­wo­ści roz­wią­za­nia każdego problemu mate­ma­tycz­nego stanowi silną zachętę dla naukow­ców. Słyszymy wie­czy­ste wezwanie: jest problem, więc szukaj jego roz­wią­za­nia. Zaś podaż pro­ble­mów w mate­ma­tyce jest nie­wy­czer­palna, gdy tylko jeden problem zostanie roz­wią­zany, na jego miejsce poja­wiają się kolejne. Pozwól­cie mi więc w dalszej części, choćby ogólnie, wspo­mnieć o kon­kret­nych pro­ble­mach, zaczerp­nię­tych z różnych dziedzin mate­ma­tyki, które mogą zade­cy­do­wać o postę­pach nauki.

~ David Hilbert w 1900 roku 

Sto lat później Instytut Mate­ma­tyczny Claya – orga­ni­za­cja stwo­rzona przy udziale biz­nes­me­nów i naukow­ców zwią­za­nych z Harvar­dem – posta­no­wił pójść w ślady Hilberta i opu­bli­ko­wać nową listę mate­ma­tycz­nych pro­ble­mów. Wśród siódemki tzw. pro­ble­mów mile­nij­nych znalazło się miejsce tylko dla jednego punktu z poprzed­niego zesta­wie­nia, czyli hipotezy Riemanna. Jako zachętę dla mate­ma­ty­ków z całego globu usta­no­wiono nie­ba­ga­telną nagrodę pie­niężną. Za roz­wią­za­nie któ­re­go­kol­wiek z pro­ble­mów Instytut zobo­wią­zał się wypłacić okrągły milion dolarów. Jak dotąd jedyna taka okazja mogła mieć miejsce w 2006 roku, kiedy Grigorij Perelman potwier­dził hipotezę Poin­ca­régo. Mogła, ponieważ rosyjski eks­cen­tryk odmówił przy­ję­cia pie­nię­dzy, podobnie jak i wielu innych wyróżnień. 

Miliony za roz­wi­kła­nie pozo­sta­łych zagadek, w tym za udo­wod­nie­nie hipotezy Riemanna, wciąż czekają na odbiór. 

4. Wielokrotnie obiecywano jego rozwiązanie

I bez moty­wa­cji pie­nięż­nej nigdy nie bra­ko­wało śmiałków pra­gną­cych roz­wi­kłać zagadkę liczb pierw­szych i zapewnić sobie wieczny splendor. Historia tych prób sięga niemal tak głęboko, jak dzieje samej hipotezy. Pierwszą obie­cu­jącą ofensywę przy­pu­ścił duet Godfrey Hardy i John Lit­tle­wood z Uni­wer­sy­tetu Cam­bridge. Jeśli regu­lar­nie czytasz Kwantowo, powi­nie­neś kojarzyć przy­naj­mniej nazwisko tego pierw­szego. To właśnie Hardy odkrył talent genial­nego samouka Sri­ni­vasy Rama­nu­jana, którego ściągnął do Anglii i wpro­wa­dził na naukowe salony – ale to tak na mar­gi­ne­sie. Roz­wią­za­nie hipotezy Riemanna, mogło wynieść Bry­tyj­czy­ków do rangi równej Eulerowi, Leib­ni­zowi czy New­to­nowi; jednak osta­teczny sukces okazał się nie­osią­galny. Mate­ma­tycy upraw­do­po­dob­nili domnie­ma­nia nie­miec­kiego mistrza, ale nie usunęli wszyst­kich wąt­pli­wo­ści. Dowiedli, iż na linii kry­tycz­nej może spo­czy­wać nie­skoń­cze­nie wiele punktów zerowych, jed­no­cze­śnie nie dowodząc, że mogą istnieć miejsca zerowe poza tą linią. Odkrycie cenne, lecz niewystarczające.

John Nash

Poja­wiali się kolejni: Atle Selberg, Hans Rade­ma­cher, czy – wciąż żyjący – Louis de Branges i Alain Connes. Jednak naj­bar­dziej znana i jed­no­cze­śnie naj­po­sęp­niej­sza pozo­staje historia Johna Nasha (na zdjęciu). W latach 50. nosił łatkę naj­bar­dziej obie­cu­ją­cego mate­ma­tyka młodego poko­le­nia, choć szerszą popu­lar­ność zyskał dzięki Nagro­dzie Nobla w dzie­dzi­nie ekonomii (czy wła­ści­wie Nagro­dzie Banku Szwecji) oraz opo­wia­da­ją­cemu o jego niedoli filmowi Piękny umysł. Gdy młokos trafił do Prin­ce­ton, zadzi­wiał swoich kolegów pomy­słami z zakresu geo­me­trii alge­bra­icz­nej, teorii gier i topo­lo­gii, oraz nie­orto­dok­syj­nymi metodami badań. Uko­ro­no­wa­niem pasma sukcesów miał być wykład z kwietnia 1959 roku, podczas którego młody geniusz obiecał przed­sta­wić dowód hipotezy Riemanna. Na widownię zgro­ma­dzoną na auli Uni­wer­sy­tetu Columbia czekał jednak wielki szok. Zamiast o liczbach pierw­szych, Nash zaczął bredzić bez ładu i składu. Umysł mate­ma­tyka stoczył się w odmęty schi­zo­fre­nii. Po wyjściu ze szpitala psy­chia­trycz­nego, Ame­ry­ka­nin porzucił karierę naukową i snuł się po kampusie nękany kolej­nymi atakami choroby. Zmarł w 2015 roku. Los Johna Nasha okrył hipotezę Riemanna wyjąt­kowo złą sławą. Zapewne jest wiele przesady w stwier­dze­niu, że to liczby pierwsze dopro­wa­dziły uczonego do sza­leń­stwa, jednak nie­wy­klu­czone, iż tyta­niczny wysiłek inte­lek­tu­alny pogłębił kiepski stan jego psychiki. 

5. Liczby pierwsze mają znaczenie dla całej nauki

No dobrze, ale dlaczego w ogóle piszę tutaj o zagad­nie­niu na wskroś mate­ma­tycz­nym? Przecież mowa o liczbach – nie fizycz­nych obiek­tach, lecz bytach abs­trak­cyj­nych. Czy zapasy z liczbami pierw­szymi to jedynie sztuka dla sztuki? Próba udo­wod­nie­nia samemu sobie, że każdy kod wszech­świata da się odszy­fro­wać? Naukowy odpo­wied­nik hima­la­izmu, w którym chodzi o zdobycie kolej­nego szczytu? 

Liczby pierwsze są wszędzie

Zde­cy­do­wa­nie nie. Pewnie nawet dziś miałeś okazję sko­rzy­stać z dobro­dziej­stwa liczb pierw­szych, jeśli np. doko­na­łeś przelewu ban­ko­wego. Wszyst­kie hasła i trans­ak­cje chro­nione są naj­pow­szech­niej­szym systemem szy­fro­wa­nia RSA, opartym właśnie o gene­ro­wane losowo, olbrzy­mie liczby pierwsze. Jednak znacznie cie­kaw­sze wydaje się ich zna­cze­nie w kon­tek­ście fizyki. W 1973 roku mate­ma­tyk z Michigan, Hugh Mont­go­mery, opu­bli­ko­wał hipotezę doty­czącą kore­la­cji par punktów zerowych w funkcji dzeta. Innymi słowy, udało mu się uchwycić zależ­ność rządzącą wystę­po­wa­niem punktów zerowych na linii kry­tycz­nej. Mont­go­mery nie wiedział jednak, że sfor­mu­ło­wany przez niego wzór (a przy­naj­mniej jego fragment) był już znany… fizykom. To praw­dziwa bomba: bliź­nia­cza pra­wi­dło­wość wystę­puje w funkcji dzeta Riemanna oraz w funkcji opi­su­ją­cej poziomy ener­ge­tyczne atomu. 

Przy­pa­dek? Nie sądzę. A to jeszcze nie wszystko. Pamię­tasz może o co chodziło w eks­pe­ry­men­cie Casimira? Było to wspa­niałe doświad­cze­nie dowo­dzące ist­nie­nia nie­ze­ro­wej energii próżni (a więc tzw. cząstek wir­tu­al­nych), której obecność dopro­wa­dzała do zbli­że­nia się dwóch rów­no­le­gle uło­żo­nych płytek. Poziom tej energii daje się wyliczyć również sięgając po starą, dobrą funkcję dzeta. Tego rodzaju zdu­mie­wa­ją­cych związków fizyki i liczb pierw­szych istnieje bez wąt­pie­nia znacznie więcej. 

Nie chcę się zaga­lo­po­wać i pisać o tym, że liczby pierwsze stanowią klucz do teorii wszyst­kiego. Na tak pom­pa­tyczne stwier­dze­nia jest zde­cy­do­wa­nie zbyt wcześnie. Nie da się jednak ukryć, że odkrycie prawideł rzą­dzą­cych fun­da­men­tem mate­ma­tyki może rzucić nieco nowego światła na stare teorie. Być może prze­war­to­ściu­jemy nasze rozu­mie­nie mecha­niki kwan­to­wej i fizyki cząstek ele­men­tar­nych. Może zyskamy wska­zówkę, która nakie­ruje nas na trop całkiem nowych kon­cep­cji lub przy­śpie­szy ideę wielkiej uni­fi­ka­cji. Właśnie dlatego świat nauki tak żarliwie pożąda dowodu hipotezy Riemanna. Możemy być pewni, że jeśli praca Michaela Atiyaha okaże się chybiona (co jest całkiem praw­do­po­dobne), wnet znajdą się kolejni mate­ma­tycy, którzy podejmą wyzwanie. 

Literatura uzupełniająca:
J. Derbyshire, Obsesja liczb pierwszych. Bernhard Riemann i największy nierozwiązany problem w matematyce, przeł. R. Kirwiel, Poznań 2009;
B. Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, [online: https://www.claymath.org/sites/default/files/zeta.pdf]
K. Steckles, What is the Riemann Hypothesis?, [online: https://scilogs.spektrum.de/hlf/what-is-the-riemann-hypothesis/];
E. Bomberi, Problems of the Millennium: the Riemann Hypothesis, [online: https://claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf];
The Cosmic Code Breakers. The Struggle to Prove the Riemann Hypothesis, prod. Planete 2009.
Autor
Adam Adamczyk

Adam Adamczyk

Naukowy totalitarysta. Jeśli nie chcesz aby wpadli do Ciebie naukowi bojówkarze, zostaw komentarz.