Zagadka ruchu trzech ciał

Wielkie sekrety wszechświata to nie tylko kosmologiczne i kwantowe abstrakcje. Okazuje się, że aura tajemnicy spowija nawet tak trywialny temat, jak opis ruchu powiązanych grawitacyjnie trzech i więcej ciał.

Era chaosu, era chaosu, era chaosu… – rozbrzmiewało mu w głowie. – Dlaczego droga słońca w świecie “Trzech ciał” była pozbawiona regularności i nie dawała się ująć w żaden wzór?

Cixin Liu, “Problem trzech ciał”

Gwiezdne jedynaki i duety

Wiecie co jest dobrego w Słońcu? Jest jedynakiem. Niby nic takiego, ale kiedy rozejrzymy się choćby po naszym kosmicznym sąsiedztwie, zauważymy, że to raczej odstępstwo od reguły. Pomyślcie o Syriuszu. Najjaśniejszy punkcik nocnego nieba, w istocie skrywa gwiazdę ciągu głównego i towarzyszącego mu białego karła, połączonych w grawitacyjnym tańcu. Podobnych konfiguracji znajdziemy znacznie więcej. Alfa Centauri, Procjon, Luyten 726-8, EZ Aquarii, 61 Cygni, Struve 2398, Groombridge 34…. Właściwie co druga z bliskich nam gwiazd, w rzeczywistości stanowi ścisły związek dwóch lub więcej ciał. Możemy wręcz zaryzykować stwierdzenie, że w gwiezdnej społeczności to single należą do mniejszości.

Daje to ekscytującą perspektywę, zwłaszcza osobom lubiącym rozmyślać o nowych światach oraz teoretyzować na temat powszechności życia we wszechświecie. Bo czy w złożonych wielogwiezdnych układach można spotkać planety? I jak mogłoby wyglądać życie pod “dwoma słońcami”? Na pierwsze z tych pytań współczesna astronomia udzieliła już odpowiedzi. Układy planetarne w pobliżu gwiazd binarnych powstają trzykrotnie rzadziej niż przy gwiazdach pojedynczych – ale jednak istnieją. Przykład takiego fantastycznego świata stanowi odkryty w 2011 roku Kepler-16b. Gazowy olbrzym obiega po orbicie ciasny układ dwóch niewielkich gwiazd. Możemy śmiało zakładać, że w ogromnym wszechświecie nie brakuje podobnych systemów, z udziałem leżących w ekosferze planet skalistych. Odwołując się do uniwersum Gwiezdnych Wojen, w astronomicznym żargonie zwykło się nazywać je planetami typu Tatooine.

Grawitacyjne tańce

To wszystko brzmi ciekawe, ale prawdziwa zabawa zaczyna się wraz z dorzuceniem do układu trzeciej gwiazdy. Jednak żeby dobrze zrozumieć na czym polega problem, przyjrzyjmy się raz jeszcze prostszym konfiguracjom ciał niebieskich.

Wszyscy wiemy jak funkcjonuje układ z jedną gwiazdą, bo sami taki zamieszkujemy. Istnieje bardzo masywny obiekt centralny, utrzymujący na newtonowskiej smyczy okrążające go planety, planetoidy, komety i tak dalej. W rzeczywistości mechanizm jest bardziej złożony, ponieważ zgodnie z teorią każde ciało oddziałuje swą grawitacją na pozostałe. Oznacza to, że Słońce przyciąga planety, ale planety nie pozostają dłużne i przyciągają Słońce. Ziemia przyciąga do siebie spadające jabłko, a niepozorne jabłko przyciąga Ziemię. Trik polega na tym, że dysproporcje mas są w tych przypadkach zatrważająco wielkie. Gwiazda Centralna skupia w sobie 99,9% materii całego systemu, wobec czego grawitacyjny wpływ planet zazwyczaj ignorujemy bez wyrzutów sumienia. Gdyby jednak Słońce było mniejsze, a np. Jowisz sporo większy, takie chodzenie na skróty stałoby się niemożliwe. Grawitacja olbrzymiej planety doprowadziłaby do znacznego “bujania” gwiazdą (notabene, to zjawisko pomaga astronomom w wyłapywaniu egzoplanet). W rzeczywistości Słońce również podlega takiemu chybotaniu, ale wychylenia od środka masy są stosunkowo niewielkie. Dlatego możemy sobie pozwalać na używanie uproszczeń i traktowanie Słońca w obliczeniach jako nieruchomego obiektu posłusznie obieganego przez planety.

Układ wielu ciał, w których jedno posiada miażdżącą przewagę grawitacyjną nad pozostałymi (podobnie jak w przypadku Słońca i okrążających go planet).

Z klasycznym układem podwójnym mamy do czynienia, gdy masy obu składników są w miarę porównywalne. W takim przypadku wspólny środek masy (barycentrum, jeśli wolicie zawodową nomenklaturę) leży zwykle poza obrębem któregoś z obiektów. Otrzymujemy pokaz kosmicznego tańca dwóch równorzędnych (w przybliżeniu) partnerów, jak gdyby kręciły się wokół niewidzialnego punktu w przestrzeni. Dotyczy to wielu gwiazd, ale nie tylko. Największy księżyc Plutona, Charon, jest proporcjonalnie na tyle dorodny, że niektórzy uczeni mówią o podwójnej planecie karłowatej.

Przykład układu dwóch ciał przy dysproporcji mas.
Przykład układu dwóch ciał o identycznych masach.

Nawet nie znając się za dobrze na fizyce czy astronomii, łatwo zauważyć na powyższych animacjach pewną elegancję. Dwa obiekty łatwo odnajdują harmonię i poruszają się w przewidywalny sposób, zarysowując swoim ruchem powtarzalny wzór. Gdzieś podskórnie właśnie czegoś takiego się spodziewamy. Obserwując większość ciał niebieskich – gwiazd, planet, księżyców – widzimy, że wszystko funkcjonuje jak sprawnie dostrojony mechanizm. Niczym naturalny odpowiednik szwajcarskiego zegarka, na którym zawsze można polegać.

Ciało trzecie

Sytuacja ulega całkowitej zmianie, kiedy rozważamy układ trzech ciał. Oczywiście skrupulatni czytelnicy mogą zauważyć, że przecież my sami żyjemy w rzeczywistości trzech ciał: Ziemi, Księżyca i Słońca. To prawda. Dokładny opis tego typu układu również nastręcza wielkich trudności (ważne prace na ten temat przedstawił mistrz francuskiej matematyki Henri Poincaré). Mamy jednak ten komfort, że absolutna dominacja masy Słońca oraz odległości między obiektami, zwykle dają nam prawo uproszczeń i traktowania planety wraz z jej satelitami jako pojedynczego obiektu obiegającego gwiazdę. Niestety podobnych sztuczek nie zastosujemy, gdy weźmiemy w rachubę trzy ciała o zbliżonych gabarytach, np. trzy gwiazdy.

W tym miejscu wkraczamy w fizykę chaosu.

Problem trzech ciał
Układ grawitacyjnych ilustrujący problem trzech ciał.

Już Sir Izaak Newton dostrzegł, że przypadek trzech ciał jest szczególny. O ile dwa obiekty zachowują się w sposób przewidywalny tworząc regularne orbity, o tyle trzy obiekty nie dają się ująć w żaden stały wzór. Szykowny taniec zostaje zastąpiony przez ordynarne pląsy.

Czy mamy do czynienia ze złudzeniem? Może trzy ciała, niczym niesforna mrówka Langtona, w końcu ustabilizują swój ruch, a z pozornego bałaganu wyłoni się ukryty ład? Nic bardziej mylnego. Muszę przyznać, że sam – jak gdyby nie chcąc wierzyć w nieprzewidywalność przyrody – przeprowadziłem dziesiątki prostych symulacji, godzinami wgapiając się w monitor i próbując wyłowić najmniejszą choćby regularność. Bez skutku.

Problem trzech ciał frapuje mądre głowy od bardzo dawna. Swego czasu doszedł uszu króla Szwecji Oskara II – prywatnie wielkiego miłośnika przyrody i nauk ścisłych. Monarcha w 1887 roku ustanowił nagrodę dla śmiałka, który przedstawiłby pełne matematyczne rozwiązanie zagadki. Ostatecznie wyróżnienie otrzymał Henri Poincaré, który dowiódł, że ogólne analityczne rozwiązanie… nigdy nie powstanie. Układ trzech ciał jest układem dosłownie nieprzewidywalnym. W praktyce przypomina on często związek dwóch ciał dążących do uformowania stabilnego układu binarnego, do którego przykleił się nachalny gość. Trzeci obiekt zwykle utrzymuje dystans, ale co jakiś czas wpada z wizytą psując swoją obecnością nastrój eleganckiego przyjęcia. Podczas każdego zbliżenia wzajemne przyciągania rodzą nowe zakłócenia, kierując ciała na zupełnie nowe trajektorie. Dzieje się to bez końca albo do momentu, aż jeden z uczestników imprezy zostanie wyekspediowany poza układ.

W świetle trzech słońc

Problem trzech ciał nie jest wyłącznie zagadnieniem teoretycznym, stworzonym aby straszyć matematyków. Takie systemy rzeczywiście w naturze występują i wcale nie musimy ich daleko szukać. Wiele wskazuje na to, że już w najbliższym sąsiedztwie Słońca – zaledwie 4 lata świetlne stąd – znajduje się układ trzech gwiazd. Tworzą go Alfa Centauri A, Alfa Centauri B oraz mniejsza Proxima Centauri. Choć gwiazdy te leżą tuż za kosmicznym rogiem, z uwagi na powolny ruch względem siebie oraz bladość Proximy, dopiero w 2016 roku udało się uprawdopodobnić ich grawitacyjny związek. Podobnie jak w powyższych rozważaniach, tak i w tym przypadku dwa składniki pozostają w wyraźnej zażyłości (ich średnia odległość to 3,5 miliarda kilometrów), podczas gdy czerwony karzeł przygląda się im z olbrzymiego dystansu dwóch bilionów kilometrów (0,2 roku świetlnego!). Pokonanie pełnej orbity przez Proximę Centauri trwa ponad pół miliona lat, stąd możemy tylko zgadywać jak wyglądają bliższe spotkania tego tercetu.

Rzecz jest o tyle interesująca, że zarówno Alfa Centauri B jak i Proxima Centauri mogą się pochwalić własnymi planetami. Czy są one zamieszkałe przez jakiekolwiek formy życia? Zapewne nie, ale myśl o cywilizacji muszącej radzić sobie ze zmiennymi warunkami świata wrzuconego w układ trzech ciał brzmi pociągająco. Do analogicznej wizji sięgnął autor science-fiction Cixin Liu, rozkręcając wokół niej fabułę bestsellerowego Problemu trzech ciał. Stworzona przez chińskiego pisarza rasa Trisolarian była zmuszona do ustawicznej walki o przetrwanie. Co jakiś czas obok głównego “słońca”, na horyzoncie pojawiały się “latające gwiazdy” zwiastujące kataklizm. Po erze stabilności przychodziła era chaosu, gdy planeta miotała się w polach grawitacyjnych trzech ciał. Bez ostrzeżenia mogła nastąpić długa noc, nagły ziąb albo upał czy zmiany siły ciążenia. Jednak prawdziwa tragedia mieszkańców Trisolaris polegała na tym, że niszczycielski cykl nie kierował się żadną prawidłowością. Kolejna era chaosu mogła nadejść po kilku, kilkunastu, kilkuset albo – przy odrobinie szczęścia – dopiero po tysiącach lat.

Największym marzeniem cywilizacji wrzuconej w grawitacyjny wir trzech ciał, byłoby bez wątpienia znalezienie sposobu na prognozowanie nadchodzących zmian. Wypracowanie metody przewidywania ruchu gwiazd, co dałoby szansę przygotowania się na erę chaosu. Pytanie, czy takie starania nie byłyby z góry skazane na porażkę, skoro problem pozostaje nierozwiązywalny?

Musimy mieć świadomość, co oznacza nierozwiązywalność w tym kontekście. Mówimy o braku ogólnej odpowiedzi. Nie mamy szans na wyłowienie z nieregularnych ruchów jakiejś prawidłowości. Trisolarianie nigdy nie stworzyliby schematycznego kalendarza z wyróżnionymi cyklicznie powtarzającymi się okresami. Nie oznacza to jednak opuszczenia głów i zupełnej kapitulacji nauki. Wciąż możemy pokusić się o doraźne rozwiązania numeryczne. Innymi słowy przy odpowiednio zaawansowanej wiedzy z zakresu fizyki i matematyki oraz pomocy dość zaawansowanych komputerów, jesteśmy w stanie na bieżąco wyliczać przyszłe zachowania każdej z trzech gwiazd. Brzmi to jak wizja syzyfowej pracy polegającej na niekończących się obliczeniach, lecz w rzeczywistości nie odbiega ona zanadto od tego, z czym mierzy się ludzkość, choćby podczas prób tworzenia zaawansowanych modeli pogodowych.

Stabilny układ trzech ciał

Wyidealizowany układ trzech ciał

Na zakończenie winny wam jestem ciekawostkę. Otóż w pewnych, bardzo specyficznych wyidealizowanych warunkach – jakich trudno poszukiwać we wszechświecie – mógłby powstać układ trzech ciał o stabilnej strukturze. Idea sformułowania takiego modelu przyświecała już mędrcom XVIII wieku. Pierwszy był Leonhard Euler, który dowiódł, że gdyby rozstawić obiekty we właściwych odległościach na jednej prostej z zachowaniem odpowiednich prędkości początkowych, śmigałyby one po stałych elipsach. Zaraz potem swoje trzy grosze dorzucił Joseph Louis Lagrange. Rozrysował on charakterystyczny model, w którym obiekty zachowywałyby pozycję wierzchołków trójkąta równobocznego.

Najlepsze jest jednak to, że moda na ekwilibrystykę z użyciem trzech ciał trwa do chwili obecnej. Dosłownie. Co jakiś czas na łamach czasopism naukowych pojawiają się artykuły przedstawiające świeże propozycje kolejnych konfiguracji. Trzeba jednak uczciwie zaznaczyć, że mimo stuleci doświadczeń i użycia superkomputerów, problem wciąż nie należy do banalnych. Najlepszy przykład stanowi próba z 2013 roku, gdy fizycy z Belgradu opublikowali piętnaście nowych przykładów systemów trzech ciał. Już dwa lata później naukowcy z Szanghajskiego Uniwersytetu Jiao Tong zweryfikowali te wyliczenia dowodząc, że połowa z nich jest błędna, a modele po jakimś czasie tracą powierzchowną stabilność.

Fakt, że współcześni uczeni wciąż uginają karku przed zagadnieniem z zakresu mechaniki klasycznej, uświadamia nam nieskończoną złożoność natury. Tak sobie myślę, że błahy z pozoru problem trzech ciał uczy pokory po stokroć bardziej niż jakakolwiek zagadka wielkiej fizyki teoretycznej.

Literatura uzupełniająca:
A. Palczewski, Orbity zamknięte w zagadnieniu trzech ciał, “Delta”, sierpień 2010;
S. Szybka, Wielkie odpowiedzi na małe pytania, [online: www.tygodnikpowszechny.pl/wielkie-odpowiedzi-na-male-pytania-152433?language=pl%EF%BB%BF];
R. Allain, This Is The Only Way to Solve The Three-Body Problem, [online: www.wired.com/2016/06/way-solve-three-body-problem/];
P. Kervella, F. Thévenin, Proxima’s orbit around α Centauri, “Astronomy & Astrophysics”, vol. 598, February 2017;
X. Ming, L. Shi, J. Liao, On the stability of the three classes of Newtonian three-body planar periodic orbits, “Science China Physics”, vol. 57, November 2014;
Z. Kao, Classical Mechanics: The Three-Body Problem, [online: www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/KaoZ.pdf];
A. Einstein, L. Infeld, Ewolucja fizyki. Rozwój poglądów od najważniejszych pojęć do teorii względności i kwantów, przeł. R. Gajewski, Warszawa 1998;
Animacje układów grawitacyjnych przygotowałem w oparciu o aplikację Gravity Simulator, [online: www.testtubegames.com/gravity.html].


Ostatnie lądowanie promu Atlantis. Zmierzch epoki wahadłowców Lot Virgin Galactic Unity 22 – Przewodnik dla zabieganych Wielka teoria małej unifikacji. O odziaływaniu elektrosłabym