Wielkie sekrety wszechświata to nie tylko kosmologiczne i kwantowe abstrakcje. Okazuje się, że aura tajemnicy spowija nawet tak trywialny temat, jak opis ruchu powiązanych grawitacyjnie ciał.

Era chaosu, era chaosu, era chaosu… – roz­brzmie­wało mu w głowie. – Dlaczego droga słońca w świecie “Trzech ciał” była pozba­wiona regu­lar­no­ści i nie dawała się ująć w żaden wzór?

Cixin Liu

Gwiezdne jedynaki i duety

Wiecie co jest dobrego w Słońcu? Jest jedy­na­kiem. Niby nic takiego, ale kiedy rozej­rzymy się choćby po naszym kosmicz­nym sąsiedz­twie, zauwa­żymy, że to raczej odstęp­stwo od reguły. Pomy­śl­cie o Syriuszu. Naj­ja­śniej­szy punkcik nocnego nieba, w istocie skrywa gwiazdę ciągu głównego i towa­rzy­szą­cego mu białego karła, połą­czo­nych w gra­wi­ta­cyj­nym tańcu. Podob­nych kon­fi­gu­ra­cji znaj­dziemy znacznie więcej. Alfa Centauri, Procjon, Luyten 726–8, EZ Aquarii, 61 Cygni, Struve 2398, Gro­om­bridge 34.… Wła­ści­wie co druga z bliskich nam gwiazd, w rze­czy­wi­sto­ści stanowi ścisły związek dwóch ciał. Możemy wręcz zary­zy­ko­wać stwier­dze­nie, że w gwiezd­nej spo­łecz­no­ści to single należą do mniej­szo­ści.

Daje to eks­cy­tu­jącą per­spek­tywę, zwłasz­cza osobom lubiącym roz­my­ślać o nowych światach oraz teo­re­ty­zo­wać na temat powszech­no­ści życia we wszech­świe­cie. Bo czy w zło­żo­nych wie­lo­gwiezd­nych układach można spotkać planety? I jak mogłoby wyglądać życie pod “dwoma słońcami”? Na pierwsze z tych pytań współ­cze­sna astro­no­mia udzie­liła już odpo­wie­dzi. Układy pla­ne­tarne w pobliżu gwiazd binar­nych powstają trzy­krot­nie rzadziej niż przy gwiaz­dach poje­dyn­czych – ale jednak istnieją. Przykład takiego fan­ta­stycz­nego świata stanowi odkryty w 2011 roku Kepler-16b. Gazowy olbrzym obiega po orbicie ciasny układ dwóch nie­wiel­kich gwiazd. Możemy śmiało zakładać, że w ogromnym wszech­świe­cie nie brakuje podob­nych systemów, z udziałem leżących w ekos­fe­rze planet ska­li­stych. Odwo­łu­jąc się do uni­wer­sum Gwiezd­nych Wojen, w astro­no­micz­nym żargonie zwykło się nazywać je pla­ne­tami typu Tatooine.

Grawitacyjne tańce

To wszystko brzmi ciekawe, ale praw­dziwa zabawa zaczyna się wraz z dorzu­ce­niem do układu trzeciej gwiazdy. Żeby zro­zu­mieć na czym polega problem, przyj­rzyjmy się raz jeszcze prost­szym kon­fi­gu­ra­cjom ciał nie­bie­skich.

Wszyscy wiemy jak funk­cjo­nuje układ z jedną gwiazdą, bo sami taki zamiesz­ku­jemy. Istnieje bardzo masywny obiekt cen­tralny, utrzy­mu­jący na new­to­now­skiej smyczy okrą­ża­jące go planety, pla­ne­to­idy, komety i tak dalej. W rze­czy­wi­sto­ści mecha­nizm jest bardziej złożony, ponieważ zgodnie z teorią każde ciało oddzia­łuje swą gra­wi­ta­cją na pozo­stałe. Oznacza to, że Słońce przy­ciąga planety, ale planety nie pozo­stają dłużne i przy­cią­gają Słońce. Ziemia przy­ciąga do siebie spa­da­jące jabłko, a nie­po­zorne jabłko przy­ciąga Ziemię. Trik polega na tym, że dys­pro­por­cje mas są w tych przy­pad­kach zatrwa­ża­jąco wielkie. Gwiazda Cen­tralna skupia w sobie 99,9% materii całego systemu, wobec czego gra­wi­ta­cyjny wpływ planet zazwy­czaj igno­ru­jemy bez wyrzutów sumienia. Gdyby jednak Słońce było mniejsze, a np. Jowisz sporo większy, takie cho­dze­nie na skróty stałoby się nie­moż­liwe. Gra­wi­ta­cja olbrzy­miej planety dopro­wa­dzi­łaby do znacz­nego “bujania” gwiazdą (notabene, to zjawisko pomaga astro­no­mom w wyła­py­wa­niu egzo­pla­net). W rze­czy­wi­sto­ści Słońce również podlega takiemu “bujaniu”, ale wychy­le­nia od środka masy są prak­tycz­nie nie­zau­wa­żalne. Dlatego możemy sobie pozwalać na używanie uprosz­czeń i trak­to­wa­nie Słońca w obli­cze­niach jako nie­ru­cho­mego obiekt posłusz­nie obie­ga­nego przez planety.

Układ wielu ciał, w których jedno posiada miaż­dżącą przewagę gra­wi­ta­cyjną nad pozo­sta­łymi (podobnie jak w przy­padku Słońca i okrą­ża­ją­cych go planet).

Z kla­sycz­nym układem podwój­nym mamy do czy­nie­nia, gdy masy obu skład­ni­ków są w miarę porów­ny­walne. W takim przy­padku wspólny środek masy (bary­cen­trum, jeśli wolicie zawodową nomen­kla­turę) leży zwykle poza obrębem któregoś z obiektów. Otrzy­mu­jemy pokaz kosmicz­nego tańca dwóch rów­no­rzęd­nych (w przy­bli­że­niu) part­ne­rów, jak gdyby kręciły się wokół nie­wi­dzial­nego punktu w prze­strzeni. Dotyczy to wielu gwiazd, ale nie tylko. Naj­więk­szy księżyc Plutona, Charon, jest pro­por­cjo­nal­nie na tyle dorodny, że nie­któ­rzy uczeni mówią o podwój­nej planecie kar­ło­wa­tej.

Przykład układu dwóch ciał przy dys­pro­por­cji mas.
Przykład układu dwóch ciał o iden­tycz­nych masach.

Nawet nie znając się za dobrze na fizyce czy astro­no­mii, łatwo zauważyć na powyż­szych ani­ma­cjach pewną ele­gan­cję. Dwa obiekty łatwo odnaj­dują harmonię i poru­szają się w prze­wi­dy­walny sposób, zary­so­wu­jąc swoim ruchem powta­rzalny wzór. Gdzieś pod­skór­nie właśnie czegoś takiego się spo­dzie­wamy. Obser­wu­jąc więk­szość ciał nie­bie­skich – gwiazd, planet, księ­ży­ców – widzimy, że wszystko funk­cjo­nuje jak sprawnie dostro­jony mecha­nizm. Niczym natu­ralny odpo­wied­nik szwaj­car­skiego zegarka, na którym zawsze można polegać.

Ciało trzecie

Sytuacja ulega cał­ko­wi­tej zmianie, kiedy roz­wa­żamy układ trzech ciał. Oczy­wi­ście skru­pu­latni czy­tel­nicy mogą zauważyć, że przecież my sami żyjemy w rze­czy­wi­sto­ści trzech ciał: Ziemi, Księżyca i Słońca. To prawda. Dokładny opis tego typu układu również nastrę­cza wielkich trud­no­ści (ważne prace na ten temat przed­sta­wił mistrz fran­cu­skiej mate­ma­tyki Henri Poincaré). Mamy jednak ten komfort, że abso­lutna domi­na­cja masy Słońca oraz odle­gło­ści między obiek­tami, zwykle dają nam prawo uprosz­czeń i trak­to­wa­nia planety wraz z jej sate­li­tami jako poje­dyn­czego obiektu obie­ga­ją­cego gwiazdę. Niestety podob­nych sztuczek nie zasto­su­jemy, gdy weźmiemy w rachubę trzy ciała o zbli­żo­nych gaba­ry­tach, np. trzy gwiazdy.

W tym miejscu wkra­czamy w fizykę chaosu.

Układ trzech ciał.

Już Sir Izaak Newton dostrzegł, że przy­pa­dek trzech ciał jest szcze­gólny. O ile dwa obiekty zacho­wują się w sposób prze­wi­dy­walny tworząc regu­larne orbity, o tyle trzy obiekty nie dają się ująć w żaden stały wzór. Szykowny taniec zostaje zastą­piony przez ordy­narne pląsy.

Czy mamy do czy­nie­nia ze złu­dze­niem? Może trzy ciała, niczym nie­sforna mrówka Langtona, w końcu usta­bi­li­zują swój ruch, a z pozor­nego bałaganu wyłoni się ukryty ład? Nic bardziej mylnego. Muszę przyznać, że sam – jak gdyby nie chcąc wierzyć w nie­prze­wi­dy­wal­ność przyrody – prze­pro­wa­dzi­łem dzie­siątki prostych symu­la­cji, godzi­nami wga­pia­jąc się w monitor i próbując wyłowić naj­mniej­szą choćby regu­lar­ność. Bez skutku.

Problem frapuje mądre głowy od bardzo dawna. Swego czasu doszedł uszu króla Szwecji Oskara II – pry­wat­nie wiel­kiego miło­śnika przyrody i nauk ścisłych. Monarcha w 1887 roku usta­no­wił nagrodę dla śmiałka, który przed­sta­wiłby pełne mate­ma­tyczne roz­wią­za­nie zagadki. Osta­tecz­nie wyróż­nie­nie otrzymał Henri Poincaré, który dowiódł, że ogólne ana­li­tyczne roz­wią­za­nie… nigdy nie powsta­nie. Układ trzech ciał jest układem dosłow­nie nie­prze­wi­dy­wal­nym. W praktyce przy­po­mina on często związek dwóch ciał dążących do ufor­mo­wa­nia sta­bil­nego układu binar­nego, do którego przy­kleił się nachalny gość. Trzeci obiekt zwykle utrzy­muje dystans, ale co jakiś czas wpada z wizytą psując swoją obec­no­ścią nastrój ele­ganc­kiego przy­ję­cia. Podczas każdego zbli­że­nia wzajemne przy­cią­ga­nia rodzą nowe zakłó­ce­nia, kierując ciała na zupełnie nowe tra­jek­to­rie. Dzieje się to bez końca albo do momentu, aż jeden z uczest­ni­ków imprezy zostanie wyeks­pe­dio­wany poza układ.

W świetle trzech słońc

Problem trzech ciał nie jest wyłącz­nie zagad­nie­niem teo­re­tycz­nym, stwo­rzo­nym aby straszyć mate­ma­ty­ków. Takie systemy rze­czy­wi­ście w naturze wystę­pują i wcale nie musimy ich daleko szukać. Wiele wskazuje na to, że już w naj­bliż­szym sąsiedz­twie Słońca – zaledwie 4 lata świetlne stąd – znajduje się układ trzech gwiazd. Tworzą go Alfa Centauri A, Alfa Centauri B oraz mniejsza Proxima Centauri. Choć gwiazdy te leżą tuż za kosmicz­nym rogiem, z uwagi na powolny ruch względem siebie oraz bladość Proximy, dopiero w 2016 roku udało się upraw­do­po­dob­nić ich gra­wi­ta­cyjny związek. Podobnie jak w powyż­szych roz­wa­ża­niach, tak i w tym przy­padku dwa skład­niki pozo­stają w wyraźnej zaży­ło­ści (ich średnia odle­głość to 3,5 miliarda kilo­me­trów), podczas gdy czerwony karzeł przy­gląda się im z olbrzy­miego dystansu dwóch bilionów kilo­me­trów (0,2 roku świetl­nego!). Poko­na­nie pełnej orbity przez Proximę Centauri trwa ponad pół miliona lat, stąd możemy tylko zgadywać jak wyglą­dają bliższe spo­tka­nia tego tercetu.

Rzecz jest o tyle inte­re­su­jąca, że zarówno Alfa Centauri B jak i Proxima Centauri mogą się pochwa­lić własnymi pla­ne­tami. Czy są one zamiesz­kałe przez jakie­kol­wiek formy życia? Zapewne nie, ale myśl o cywi­li­za­cji muszącej radzić sobie ze zmien­nymi warun­kami świata wrzu­co­nego w układ trzech ciał brzmi pocią­ga­jąco. Do ana­lo­gicz­nej wizji sięgnął autor science-fiction Cixin Liu, roz­krę­ca­jąc wokół niej fabułę best­sel­le­ro­wego Problemu trzech ciał. Stwo­rzona przez chiń­skiego pisarza rasa Tri­so­la­rian była zmuszona do usta­wicz­nej walki o prze­trwa­nie. Co jakiś czas obok głównego “słońca”, na hory­zon­cie poja­wiały się “latające gwiazdy” zwia­stu­jące kata­klizm. Po erze sta­bil­no­ści przy­cho­dziła era chaosu, gdy planeta miotała się w polach gra­wi­ta­cyj­nych trzech ciał. Bez ostrze­że­nia mogła nastąpić długa noc, nagły ziąb albo upał czy zmiany siły ciążenia. Jednak praw­dziwa tragedia miesz­kań­ców Tri­so­la­ris polegała na tym, że nisz­czy­ciel­ski cykl nie kierował się żadną pra­wi­dło­wo­ścią. Kolejna era chaosu mogła nadejść po kilku, kil­ku­na­stu, kilkuset albo – przy odro­bi­nie szczę­ścia – dopiero po tysią­cach lat.

Naj­więk­szym marze­niem cywi­li­za­cji wrzu­co­nej w gra­wi­ta­cyjny wir trzech ciał, byłoby bez wąt­pie­nia zna­le­zie­nie sposobu na pro­gno­zo­wa­nie nad­cho­dzą­cych zmian. Wypra­co­wa­nie metody prze­wi­dy­wa­nia ruchu gwiazd, co dałoby szansę przy­go­to­wa­nia się na erę chaosu. Pytanie, czy takie starania nie byłyby z góry skazane na porażkę, skoro problem pozo­staje nie­roz­wią­zy­walny?

Musimy mieć świa­do­mość, co oznacza nie­roz­wią­zy­wal­ność w tym kon­tek­ście. Mówimy o braku ogólnej odpo­wie­dzi. Nie mamy szans na wyło­wie­nie z nie­re­gu­lar­nych ruchów jakiejś pra­wi­dło­wo­ści. Tri­so­la­ria­nie nigdy nie stwo­rzy­liby sche­ma­tycz­nego kalen­da­rza z wyróż­nio­nymi cyklicz­nie powta­rza­ją­cymi się okresami. Nie oznacza to jednak opusz­cze­nia głów i zupełnej kapi­tu­la­cji nauki. Wciąż możemy pokusić się o doraźne roz­wią­za­nia nume­ryczne. Innymi słowy przy odpo­wied­nio zaawan­so­wa­nej wiedzy z zakresu fizyki i mate­ma­tyki oraz pomocy dość zaawan­so­wa­nych kom­pu­te­rów, jesteśmy w stanie na bieżąco wyliczać przyszłe zacho­wa­nia każdej z trzech gwiazd. Brzmi to jak wizja syzy­fo­wej pracy pole­ga­ją­cej na nie­koń­czą­cych się obli­cze­niach, lecz w rze­czy­wi­sto­ści nie odbiega ona zanadto od tego, z czym mierzy się ludzkość, choćby podczas prób two­rze­nia zaawan­so­wa­nych modeli pogo­do­wych.

Stabilny układ trzech ciał

Na zakoń­cze­nie winny wam jestem cie­ka­wostkę. Otóż w pewnych, bardzo spe­cy­ficz­nych wyide­ali­zo­wa­nych warun­kach – jakich trudno poszu­ki­wać we wszech­świe­cie – mógłby powstać układ trzech ciał o sta­bil­nej struk­tu­rze. Idea sfor­mu­ło­wa­nia takiego modelu przy­świe­cała już mędrcom XVIII wieku. Pierwszy był Leonhard Euler, który dowiódł, że gdyby roz­sta­wić obiekty we wła­ści­wych odle­gło­ściach na jednej prostej z zacho­wa­niem odpo­wied­nich pręd­ko­ści począt­ko­wych, śmi­ga­łyby one po stałych elipsach. Zaraz potem swoje trzy grosze dorzucił Joseph Louis Lagrange. Roz­ry­so­wał on cha­rak­te­ry­styczny model, w którym obiekty zacho­wy­wa­łyby pozycję wierz­choł­ków trójkąta rów­no­bocz­nego.

Naj­lep­sze jest jednak to, że moda na ekwi­li­bry­stykę z użyciem trzech ciał trwa do chwili obecnej. Dosłow­nie. Co jakiś czas na łamach cza­so­pism nauko­wych poja­wiają się artykuły przed­sta­wia­jące świeże pro­po­zy­cje kolej­nych kon­fi­gu­ra­cji. Trzeba jednak uczciwie zazna­czyć, że mimo stuleci doświad­czeń i użycia super­kom­pu­te­rów, problem wciąż nie należy do banal­nych. Naj­lep­szy przykład stanowi próba z 2013 roku, gdy fizycy z Belgradu opu­bli­ko­wali pięt­na­ście nowych przy­kła­dów systemów trzech ciał. Już dwa lata później naukowcy z Szan­ghaj­skiego Uni­wer­sy­tetu Jiao Tong zwe­ry­fi­ko­wali te wyli­cze­nia dowodząc, że połowa z nich jest błędna, a modele po jakimś czasie tracą powierz­chowną sta­bil­ność.

Fakt, że współ­cze­śni uczeni wciąż uginają karku przed zagad­nie­niem z zakresu mecha­niki kla­sycz­nej, uświa­da­mia nam nie­skoń­czoną zło­żo­ność natury. Tak sobie myślę, że błahy z pozoru problem trzech ciał uczy pokory po stokroć bardziej niż jaka­kol­wiek zagadka wielkiej fizyki teo­re­tycz­nej.

Literatura uzupełniająca:
A. Palczewski, Orbity zamknięte w zagadnieniu trzech ciał, “Delta”, sierpień 2010;
S. Szybka, Wielkie odpowiedzi na małe pytania, [online: www.tygodnikpowszechny.pl/wielkie-odpowiedzi-na-male-pytania-152433?language=pl%EF%BB%BF];
R. Allain, This Is The Only Way to Solve The Three-Body Problem, [online: www.wired.com/2016/06/way-solve-three-body-problem/];
P. Kervella, F. Thévenin, Proxima’s orbit around α Centauri, “Astronomy & Astrophysics”, vol. 598, February 2017;
X. Ming, L. Shi, J. Liao, On the stability of the three classes of Newtonian three-body planar periodic orbits, “Science China Physics”, vol. 57, November 2014;
Z. Kao, Classical Mechanics: The Three-Body Problem, [online: www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/KaoZ.pdf];
A. Einstein, L. Infeld, Ewolucja fizyki. Rozwój poglądów od najważniejszych pojęć do teorii względności i kwantów, przeł. R. Gajewski, Warszawa 1998;
Animacje układów grawitacyjnych przygotowałem w oparciu o aplikację Gravity Simulator, [online: www.testtubegames.com/gravity.html].