Wielkie sekrety wszechświata to nie tylko kosmologiczne i kwantowe abstrakcje. Okazuje się, że aura tajemnicy spowija nawet tak trywialny temat, jak opis ruchu powiązanych grawitacyjnie ciał.

Era chaosu, era chaosu, era chaosu… – roz­brzmie­wało mu w głowie. – Dlaczego droga słońca w świecie “Trzech ciał” była pozba­wiona regu­lar­no­ści i nie dawała się ująć w żaden wzór?

Cixin Liu

Gwiezdne jedynaki i duety

Wiecie co jest dobrego w Słońcu? Jest jedy­na­kiem. Niby nic takiego, ale kiedy rozej­rzymy się choćby po naszym kosmicz­nym sąsiedz­twie, zauwa­żymy, że to raczej odstęp­stwo od reguły. Pomy­śl­cie o Syriuszu. Naj­ja­śniej­szy punkcik nocnego nieba, w istocie skrywa gwiazdę ciągu głównego i towa­rzy­szą­cego mu białego karła, połą­czo­nych w gra­wi­ta­cyj­nym tańcu. Podob­nych kon­fi­gu­ra­cji znaj­dziemy znacznie więcej. Alfa Centauri, Procjon, Luyten 726–8, EZ Aquarii, 61 Cygni, Struve 2398, Gro­om­bridge 34.… Wła­ści­wie co druga z bliskich nam gwiazd, w rze­czy­wi­sto­ści stanowi ścisły związek dwóch ciał. Możemy wręcz zary­zy­ko­wać stwier­dze­nie, że w gwiezd­nej spo­łecz­no­ści to single należą do mniej­szo­ści.

Daje to eks­cy­tu­jącą per­spek­tywę, zwłasz­cza osobom lubiącym roz­my­ślać o nowych światach oraz teo­re­ty­zo­wać na temat powszech­no­ści życia we wszech­świe­cie. Bo czy w zło­żo­nych wie­lo­gwiezd­nych układach można spotkać planety? I jak mogłoby wyglądać życie pod “dwoma słońcami”? Na pierwsze z tych pytań współ­cze­sna astro­no­mia udzie­liła już odpo­wie­dzi. Układy pla­ne­tarne w pobliżu gwiazd binar­nych powstają trzy­krot­nie rzadziej niż przy gwiaz­dach poje­dyn­czych – ale jednak istnieją. Przykład takiego fan­ta­stycz­nego świata stanowi odkryty w 2011 roku Kepler-16b. Gazowy olbrzym obiega po orbicie ciasny układ dwóch nie­wiel­kich gwiazd. Możemy śmiało zakładać, że w ogromnym wszech­świe­cie nie brakuje podob­nych systemów, z udziałem leżących w ekos­fe­rze planet ska­li­stych. Odwo­łu­jąc się do uni­wer­sum Gwiezd­nych Wojen, w astro­no­micz­nym żargonie zwykło się nazywać je pla­ne­tami typu Tatooine.

Grawitacyjne tańce

To wszystko brzmi ciekawe, ale praw­dziwa zabawa zaczyna się wraz z dorzu­ce­niem do układu trzeciej gwiazdy. Żeby zro­zu­mieć na czym polega problem, przyj­rzyjmy się raz jeszcze prost­szym kon­fi­gu­ra­cjom ciał nie­bie­skich.

Wszyscy wiemy jak funk­cjo­nuje układ z jedną gwiazdą, bo sami taki zamiesz­ku­jemy. Istnieje bardzo masywny obiekt cen­tralny, utrzy­mu­jący na new­to­now­skiej smyczy okrą­ża­jące go planety, pla­ne­to­idy, komety i tak dalej. W rze­czy­wi­sto­ści mecha­nizm jest bardziej złożony, ponieważ zgodnie z teorią każde ciało oddzia­łuje swą gra­wi­ta­cją na pozo­stałe. Oznacza to, że Słońce przy­ciąga planety, ale planety nie pozo­stają dłużne i przy­cią­gają Słońce. Ziemia przy­ciąga do siebie spa­da­jące jabłko, a nie­po­zorne jabłko przy­ciąga Ziemię. Trik polega na tym, że dys­pro­por­cje mas są w tych przy­pad­kach zatrwa­ża­jąco wielkie. Gwiazda Cen­tralna skupia w sobie 99,9% materii całego systemu, wobec czego gra­wi­ta­cyjny wpływ planet zazwy­czaj igno­ru­jemy bez wyrzutów sumienia. Gdyby jednak Słońce było mniejsze, a np. Jowisz sporo większy, takie cho­dze­nie na skróty stałoby się nie­moż­liwe. Gra­wi­ta­cja olbrzy­miej planety dopro­wa­dzi­łaby do znacz­nego “bujania” gwiazdą (notabene, to zjawisko pomaga astro­no­mom w wyła­py­wa­niu egzo­pla­net). W rze­czy­wi­sto­ści Słońce również podlega takiemu “bujaniu”, ale wychy­le­nia od środka masy są prak­tycz­nie nie­zau­wa­żalne. Dlatego możemy sobie pozwalać na używanie uprosz­czeń i trak­to­wa­nie Słońca w obli­cze­niach jako nie­ru­cho­mego obiekt posłusz­nie obie­ga­nego przez planety.

Układ wielu ciał, w których jedno posiada miaż­dżącą przewagę gra­wi­ta­cyjną nad pozo­sta­łymi (podobnie jak w przy­padku Słońca i okrą­ża­ją­cych go planet).

Z kla­sycz­nym układem podwój­nym mamy do czy­nie­nia, gdy masy obu skład­ni­ków są w miarę porów­ny­walne. W takim przy­padku wspólny środek masy (bary­cen­trum, jeśli wolicie zawodową nomen­kla­turę) leży zwykle poza obrębem któregoś z obiektów. Otrzy­mu­jemy pokaz kosmicz­nego tańca dwóch rów­no­rzęd­nych (w przy­bli­że­niu) part­ne­rów, jak gdyby kręciły się wokół nie­wi­dzial­nego punktu w prze­strzeni. Dotyczy to wielu gwiazd, ale nie tylko. Naj­więk­szy księżyc Plutona, Charon, jest pro­por­cjo­nal­nie na tyle dorodny, że nie­któ­rzy uczeni mówią o podwój­nej planecie kar­ło­wa­tej.

Przykład układu dwóch ciał przy dys­pro­por­cji mas.
Przykład układu dwóch ciał o iden­tycz­nych masach.

Nawet nie znając się za dobrze na fizyce czy astro­no­mii, łatwo zauważyć na powyż­szych ani­ma­cjach pewną ele­gan­cję. Dwa obiekty łatwo odnaj­dują harmonię i poru­szają się w prze­wi­dy­walny sposób, zary­so­wu­jąc swoim ruchem powta­rzalny wzór. Gdzieś pod­skór­nie właśnie czegoś takiego się spo­dzie­wamy. Obser­wu­jąc więk­szość ciał nie­bie­skich – gwiazd, planet, księ­ży­ców – widzimy, że wszystko funk­cjo­nuje jak sprawnie dostro­jony mecha­nizm. Niczym natu­ralny odpo­wied­nik szwaj­car­skiego zegarka, na którym zawsze można polegać.

Ciało trzecie

Sytuacja ulega cał­ko­wi­tej zmianie, kiedy roz­wa­żamy układ trzech ciał. Oczy­wi­ście skru­pu­latni czy­tel­nicy mogą zauważyć, że przecież my sami żyjemy w rze­czy­wi­sto­ści trzech ciał: Ziemi, Księżyca i Słońca. To prawda. Dokładny opis tego typu układu również nastrę­cza wielkich trud­no­ści (ważne prace na ten temat przed­sta­wił mistrz fran­cu­skiej mate­ma­tyki Henri Poincaré). Mamy jednak ten komfort, że abso­lutna domi­na­cja masy Słońca oraz odle­gło­ści między obiek­tami, zwykle dają nam prawo uprosz­czeń i trak­to­wa­nia planety wraz z jej sate­li­tami jako poje­dyn­czego obiektu obie­ga­ją­cego gwiazdę. Niestety do podob­nych sztuczek nie zasto­su­jemy, gdy weźmiemy w rachubę trzy ciała o zbli­żo­nych gaba­ry­tach, np. trzy gwiazdy.

W tym miejscu wkra­czamy w fizykę chaosu.

Układ trzech ciał.

Już Sir Izaak Newton dostrzegł, że przy­pa­dek trzech ciał jest szcze­gólny. O ile dwa obiekty zacho­wują się w sposób prze­wi­dy­walny tworząc regu­larne orbity, o tyle trzy obiekty nie dają się ująć w żaden stały wzór. Szykowny taniec zostaje zastą­piony przez ordy­narne pląsy.

A może mamy do czy­nie­nia ze złu­dze­niem? Może trzy ciała, niczym nie­sforna mrówka Langtona, w końcu usta­bi­li­zują swój ruch, a z pozor­nego bałaganu wyłoni się ukryty ład? Nic bardziej mylnego. Muszę przyznać, że sam – jak gdyby nie chcąc wierzyć w nie­prze­wi­dy­wal­ność przyrody – prze­pro­wa­dzi­łem dzie­siątki prostych symu­la­cji godzi­nami, wga­pia­jąc się w monitor i próbując wyłowić naj­mniej­szą choćby regu­lar­ność. Bez skutku.

Problem frapuje mądre głowy od bardzo dawna. Swego czasu doszedł uszu króla Szwecji Oskara II – pry­wat­nie wiel­kiego miło­śnika przyrody i nauk ścisłych. Monarcha w 1887 roku usta­no­wił nagrodę dla śmiałka, który przed­sta­wiłby pełne mate­ma­tyczne roz­wią­za­nie zagadki. Osta­tecz­nie wyróż­nie­nie otrzymał Henri Poincaré, który dowiódł, że ogólne ana­li­tyczne roz­wią­za­nie… nigdy nie powsta­nie. Układ trzech ciał jest układem dosłow­nie nie­prze­wi­dy­wal­nym. W praktyce przy­po­mina on często związek dwóch ciał dążących do ufor­mo­wa­nia sta­bil­nego układu binar­nego, do którego przy­kleił się nachalny gość. Trzeci obiekt zwykle utrzy­muje dystans, ale co jakiś czas wpada z wizytą psując swoją obec­no­ścią nastrój ele­ganc­kiego przy­ję­cia. Podczas każdego zbli­że­nia wzajemne przy­cią­ga­nia rodzą nowe zakłó­ce­nia, kierując ciała na zupełnie nowe tra­jek­to­rie. Dzieje się to bez końca albo do momentu, aż jeden z uczest­ni­ków imprezy zostanie wyeks­pe­dio­wany poza układ.

W świetle trzech słońc

Problem trzech ciał nie jest wyłącz­nie zagad­nie­niem teo­re­tycz­nym, stwo­rzo­nym aby straszyć mate­ma­ty­ków. Takie systemy rze­czy­wi­ście w naturze wystę­pują i wcale nie musimy ich daleko szukać. Wiele wskazuje na to, że już w naj­bliż­szym sąsiedz­twie Słońca – zaledwie 4 lata świetlne stąd – znajduje się układ trzech gwiazd. Tworzą go Alfa Centauri A, Alfa Centauri B oraz mniejsza Proxima Centauri. Choć gwiazdy te leżą tuż za kosmicz­nym rogiem, z uwagi na powolny ruch względem siebie, dopiero w 2016 roku udało się upraw­do­po­dob­nić ich gra­wi­ta­cyjny związek. Podobnie jak w powyż­szych roz­wa­ża­niach, tak i w tym przy­padku dwa skład­niki pozo­stają w wyraźnej zaży­ło­ści (ich średnia odle­głość to 3,5 miliarda kilo­me­trów), podczas gdy czerwony karzeł przy­gląda się im z olbrzy­miego dystansu dwóch bilionów kilo­me­trów (0,2 roku świetl­nego!). Poko­na­nie pełnej orbity przez Proximę Centauri trwa ponad pół miliona lat, stąd możemy tylko zgadywać jak wyglą­dają bliższe spo­tka­nia tego tercetu.

Rzecz jest o tyle inte­re­su­jąca, że zarówno Alfa Centauri B jak i Proxima Centauri mogą się pochwa­lić własnymi pla­ne­tami. Czy są one zamiesz­kałe przez jakie­kol­wiek formy życia? Zapewne nie, ale myśl o cywi­li­za­cji muszącej radzić sobie ze zmien­nymi warun­kami świata wrzu­co­nego w układ trzech ciał brzmi pocią­ga­jąco. Do ana­lo­gicz­nej wizji sięgnął autor science-fiction Cixin Liu, roz­krę­ca­jąc wokół niej fabułę best­sel­le­ro­wego Problemu trzech ciał. Stwo­rzona przez chiń­skiego pisarza rasa Tri­so­la­rian była zmuszona do usta­wicz­nej walki o prze­trwa­nie. Co jakiś czas obok głównego “słońca”, na hory­zon­cie poja­wiały się “latające gwiazdy” zwia­stu­jące kata­klizm. Po erze sta­bil­no­ści przy­cho­dziła era chaosu, gdy planeta miotała się w polach gra­wi­ta­cyj­nych trzech ciał. Bez ostrze­że­nia mogła nastąpić długa noc, nagły ziąb albo upał czy zmiany siły ciążenia. Jednak praw­dziwa tragedia miesz­kań­ców Tri­so­la­ris polegała na tym, że nisz­czy­ciel­ski cykl nie kierował się żadną pra­wi­dło­wo­ścią. Kolejna era chaosu mogła nadejść po kilku, kil­ku­na­stu, kilkuset albo – przy odro­bi­nie szczę­ścia – dopiero po tysią­cach lat.

Naj­więk­szym marze­niem cywi­li­za­cji wrzu­co­nej w gra­wi­ta­cyjny wir trzech ciał, byłoby bez wąt­pie­nia zna­le­zie­nie sposobu na pro­gno­zo­wa­nie nad­cho­dzą­cych zmian. Wypra­co­wa­nie metody prze­wi­dy­wa­nia ruchu gwiazd, co dałoby szansę przy­go­to­wa­nia się na erę chaosu. Pytanie, czy takie starania nie byłyby z góry skazane na porażkę, skoro problem pozo­staje nie­roz­wią­zy­walny?

Musimy mieć świa­do­mość, co oznacza nie­roz­wią­zy­wal­ność w tym kon­tek­ście. Mówimy o braku ogólnej odpo­wie­dzi. Nie mamy szans na wyło­wie­nie z nie­re­gu­lar­nych ruchów jakiejś pra­wi­dło­wo­ści. Tri­so­la­ria­nie nigdy nie stwo­rzy­liby sche­ma­tycz­nego kalen­da­rza z wyróż­nio­nymi cyklicz­nie powta­rza­ją­cymi się okresami. Nie oznacza to jednak opusz­cze­nia głów i zupełnej kapi­tu­la­cji nauki. Wciąż możemy pokusić się o doraźne roz­wią­za­nia nume­ryczne. Innymi słowy przy odpo­wied­nio zaawan­so­wa­nej wiedzy z zakresu fizyki i mate­ma­tyki oraz pomocy dość zaawan­so­wa­nych kom­pu­te­rów, jesteśmy w stanie na bieżąco wyliczać przyszłe zacho­wa­nia każdej z trzech gwiazd. Brzmi to jak wizja syzy­fo­wej pracy pole­ga­ją­cej na nie­koń­czą­cych się obli­cze­niach, lecz w rze­czy­wi­sto­ści nie odbiega ona zanadto od tego, z czym mierzy się ludzkość, choćby podczas prób two­rze­nia zaawan­so­wa­nych modeli pogo­do­wych.

Stabilny układ trzech ciał

Na zakoń­cze­nie winny wam jestem cie­ka­wostkę. Otóż w pewnych, bardzo spe­cy­ficz­nych wyide­ali­zo­wa­nych warun­kach – jakich trudno poszu­ki­wać we wszech­świe­cie – mógłby powstać układ trzech ciał o sta­bil­nej struk­tu­rze. Idea sfor­mu­ło­wa­nia takiego modelu przy­świe­cała już mędrcom XVIII wieku. Pierwszy był Leonhard Euler, który dowiódł, że gdyby roz­sta­wić obiekty we wła­ści­wych odle­gło­ściach na jednej prostej z zacho­wa­niem odpo­wied­nich pręd­ko­ści począt­ko­wych, śmi­ga­łyby one po stałych elipsach. Zaraz potem swoje trzy grosze dorzucił Joseph Louis Lagrange. Roz­ry­so­wał on cha­rak­te­ry­styczny model, w którym obiekty zacho­wy­wa­łyby pozycję wierz­choł­ków trójkąta rów­no­bocz­nego.

Naj­lep­sze jest jednak to, że moda na ekwi­li­bry­stykę z użyciem trzech ciał trwa do chwili obecnej. Dosłow­nie. Co jakiś czas na łamach cza­so­pism nauko­wych poja­wiają się artykuły przed­sta­wia­jące świeże pro­po­zy­cje kolej­nych kon­fi­gu­ra­cji. Trzeba jednak uczciwie zazna­czyć, że mimo stuleci doświad­czeń i użycia super­kom­pu­te­rów, problem wciąż nie należy do banal­nych. Naj­lep­szy przykład stanowi próba z 2013 roku, gdy fizycy z Belgradu opu­bli­ko­wali pięt­na­ście nowych przy­kła­dów systemów trzech ciał. Już dwa lata później naukowcy z Szan­ghaj­skiego Uni­wer­sy­tetu Jiao Tong zwe­ry­fi­ko­wali te wyli­cze­nia dowodząc, że połowa z nich jest błędna, a modele po jakimś czasie tracą powierz­chowną sta­bil­ność.

Fakt, że współ­cze­śni uczeni wciąż uginają karku przed zagad­nie­niem z zakresu mecha­niki kla­sycz­nej, uświa­da­mia nam nie­skoń­czoną zło­żo­ność natury. Tak sobie myślę, że błahy z pozoru problem trzech ciał uczy pokory po stokroć bardziej niż jaka­kol­wiek zagadka wielkiej fizyki teo­re­tycz­nej.

Literatura uzupełniająca:
A. Palczewski, Orbity zamknięte w zagadnieniu trzech ciał, “Delta”, sierpień 2010;
S. Szybka, Wielkie odpowiedzi na małe pytania, [online: www.tygodnikpowszechny.pl/wielkie-odpowiedzi-na-male-pytania-152433?language=pl%EF%BB%BF];
R. Allain, This Is The Only Way to Solve The Three-Body Problem, [online: www.wired.com/2016/06/way-solve-three-body-problem/];
P. Kervella, F. Thévenin, Proxima’s orbit around α Centauri, “Astronomy & Astrophysics”, vol. 598, February 2017;
X. Ming, L. Shi, J. Liao, On the stability of the three classes of Newtonian three-body planar periodic orbits, “Science China Physics”, vol. 57, November 2014;
Z. Kao, Classical Mechanics: The Three-Body Problem, [online: www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/KaoZ.pdf];
A. Einstein, L. Infeld, Ewolucja fizyki. Rozwój poglądów od najważniejszych pojęć do teorii względności i kwantów, przeł. R. Gajewski, Warszawa 1998;
Animacje układów grawitacyjnych przygotowałem w oparciu o aplikację Gravity Simulator, [online: www.testtubegames.com/gravity.html].


  • Michał Skichał

    Problem trzech, przy­naj­mniej jeśli chodzi o gra­wi­ta­cję, bierze się stąd, że we wzorze Newtona wystę­puje wyłącz­nie dwóch boha­te­rów: G(m1 * m2)/r — stała gra­wi­ta­cyjna razy masa jednego obiektu razy masa drugiego obiektu a to wszystko podzie­lone przez odle­głość między tymi dwoma obiek­tami. Newton nie potrafił myśleć abs­trak­cyj­nie, a jedynie kon­kret­nie: myśląc o gra­wi­ta­cji, myślał wyłącz­nie o jabłku spa­da­ją­cym na głowę, a wła­ści­wie, to spa­da­ją­cym na Ziemię. Wła­ści­wie rzecz biorąc, to Newton zajmował się cią­że­niem ziemskim, a nie gra­wi­ta­cją. Wg. niego, nie było sensu roz­pa­try­wa­nie inte­rak­cji większej liczby obiektów: wszystko, co można pod­rzu­cić w górę i co spadnie następ­nie na Ziemię, albo cokol­wiek mogłoby po prostu wziąć i runąć w dół, i tak będzie nie­po­rów­ny­wal­nie małe w porów­na­niu do Ziemi. Krótko mówiąc, na Ziemię spadają same jabłka. Istota ciążenia zaś tkwi nie w liczbie tych jabłek, lecz w inte­rak­cji między masywną Ziemią a każdym jabłkiem oddziel­nie. Ktoś złośliwy być może zasu­ge­ro­wał New­to­nowi, aby spró­bo­wał wejść w temat głębiej, pod­su­wa­jąc mu do roz­wa­że­nia inte­rak­cję między Ziemią, jej Księ­ży­cem i Słońcem. Ale Newton uciekł się do sztuczki kuglar­skiej: policzył Ziemię i Słońce a oddziel­nie Księżyc i Ziemię. Ponieważ wyniki obliczeń są z grubsza zbliżone do pomiarów obser­wa­cyj­nych, Newton był zado­wo­lony. Ale dziś już by nie był, bo lot statku kosmicz­nego na Księżyc to właśnie problem 3 ciał. Wg. kla­sycz­nej, new­to­now­skiej fizyki, załogi programu Apollo wysłano na Księżyc po omacku, na chybił trafił, a nóż się uda 😀

    • kuba_wu

      Wzrór Newtona dotyczy dowolnej liczby ciał, po prostu jeśli ich jest więcej, to wypad­kowa siła jest super­po­zy­cją (sumą) poszcze­gól­nych oddzia­ły­wań, i tyle. Jest to cał­ko­wi­cie poprawne i słuszne. To czego nie umiemy, to podać ana­li­tycz­nego roz­wią­za­nia na TOR ruchu, a nie na siły — te znamy dobrze.

      Nie wiem skąd insy­nu­acja że Newton nie potrafił myśleć abs­trak­cyj­nie, podczas gdy jego prawa ruchu dowodzą właśnie czegoś odwrot­nego — potrafił wyobra­zić sobie abs­trak­cyjny iner­cjalny układ odnie­sie­nia i abs­trak­cyjny “wieczny” ruch bez oporów i bez siły zewnętrz­nej. Co więcej, samo powią­za­nie siły ziem­skiej gra­wi­ta­cji, i uświa­do­mie­nie sobie, że ta sama siła jest przy­czyną ruchu ciał nie­bie­skich, a także udo­wod­nie­nie zgod­no­ści tej tezy z obser­wa­cjami, to też arcy­dzieło uogól­nie­nia, na poziomie możliwym w jego epoce.

      I tak jest, statki kosmiczne latają wg kla­sycz­nej new­to­now­skiej teorii gra­wi­ta­cji, bo ona jest ona cał­ko­wi­cie w porządku w tych zasto­so­wa­niach. Nawet jeśli w grę wchodzi wiele ciał, symu­la­cje pozwa­lają na prak­tycz­nie nie­ogra­ni­czoną precyzję (ogra­ni­czoną głównie dokład­no­ścią danych wej­ścio­wych).

      • Michał Skichał

        Oczy­wi­ście, że tak, nawet Wiki­pe­dia pisze o tym, że w pro­ble­mie n-ciał chodzi o tra­jek­to­rię ruchu, oraz że oddzia­ły­wa­nia gra­wi­ta­cyjne dla więcej niż 2 ciał wylicza się z układu równań róż­nicz­ko­wych. Są nawet wzorki. Nie­czy­tel­ność mojego wpisu być może wynika stąd, że stanowił on “prze­hu­ma­ni­zo­wany” esej akcen­tu­jący różnicę pomiędzy prostotą wzorów podanych przez Newtona i naucza­nych w szkołach z poziomu do matu­ral­nego, a uciąż­li­wo­ścią obliczeń, które fak­tycz­nie trzeba pro­wa­dzić, aby wyliczyć realne sytuacje i których prze­pro­wa­dza­nia już w szkołach nie uczą, nie wspo­mi­na­jąc już o tym, że wiedza szkolna jest tutaj cał­ko­wi­cie nie­przy­datna (w sensie: nie­wy­star­cza­jąca). Stąd Newton w moim wpisie nie był panem Isaaciem Newtonem, a per­so­ni­fi­ka­cją całej tej “szkolnej” wiedzy, pozba­wio­nej rachunku róż­nicz­kowo-cał­ko­wego, teorii chaosu, wysokiej precyzji oraz mocy obli­cze­nio­wej, na którą niekiedy trzeba czekać w kolejce. Jest przecież oczy­wi­ste, że gdyby pan Isaac Newton fak­tycz­nie nie potrafił myśleć abs­trak­cyj­nie, to byłby co najwyżej ogrod­ni­kiem, albo rze­mieśl­ni­kiem a z pew­no­ścią nie roz­my­ślałby w wieku mło­dzień­czym nad ruchem obiektów, czego obli­cze­nie wymagało od niego wymy­śle­nia rachunku róznicz­kowo-cał­ko­wego, bez którego — co było jego naj­więk­szym osią­gnię­ciem — wedle współ­cze­snej mu wiedzy po prostu nie dało się niczego sen­sow­nego obliczyć, może z wyjąt­kiem kon­kret­nej reszty, jaką trzeba wydać klien­towi opła­ca­ją­cemu naprawę cholewki. Wszyscy znają — ewen­tu­al­nie mniej więcej znają — ten wzór Newtona, znają go ze szkoły i znają go jako wzór kon­kretny, nie wyma­ga­jący żadnej abs­trak­cji — a mimo to, stają się bezradni, gdyby potrze­bo­wali obliczyć, albo chociaż wymyślić, w jaki sposób użyć tą wiedzę celem obli­cze­nia ruchu 3 obiektów zwią­za­nych siłą gra­wi­ta­cji. To właśnie wymaga więcej abs­trak­cji. (Mówiąc tutaj “wszyscy” wyklu­czam osoby mające spe­cja­li­styczną wiedzę z zakresu mate­ma­tyki, a więc inży­nie­rów i fizyków, których edukacja obejmuje problem n-ciał tak, jak edukacja biologa obejmuje kwestię trans­kryp­cji i trans­la­cji).

  • Teresa

    Taka nie­prze­wi­dy­wal­ność układu trzech ciał do złu­dze­nia przy­po­mina nie­prze­wi­dy­wal­ność obiektów w świecie kwan­to­wym. Oczy­wi­ście to nie to samo i inne reguły obo­wią­zują, nie mniej jednak jakieś podo­bień­stwo na myśl przy­cho­dzi.
    W zło­żo­nych wie­lo­gwiezd­nych układach można spotkać planety, ale czy może rozwinąć się tam życie? Wydaje mi się, że żadna cywi­li­za­cja nie byłaby w stanie rozwinąć się w takim gra­wi­ta­cyj­nym wirze trzech ciał. W ogóle pytanie, czy w tak nie­sta­bil­nych zło­żo­nych układach mogłoby powstać jakie­kol­wiek życie. Ewolucja też potrze­buje czasu, a tu co jakiś czas nastę­po­wałby reset.

    • kuba_wu

      Według mnie, zupełnie nie przy­po­mina.

      Układ trzech ciał porusza się zgodnie z deter­mi­ni­stycz­nym prawem gra­wi­ta­cji, tyle tylko że nie potra­fimy podać ana­li­tycz­nego wzoru na tor ruchu (ale potra­fimy zasy­mu­lo­wać ten ruch z dowolną dokład­no­ścią na zadanym hory­zon­cie). No i tra­jek­to­rie mają skłon­no­ści do odchyleń (nie­wiel­kie zabu­rze­nie począt­kowe skutkuje coraz większym odchy­le­niem od tra­jek­to­rii nie­za­bu­rzo­nej wraz z czasem).

      Nie­ozna­czo­ność, tj prze­wi­dy­wal­ność kwantowa jest zaś fun­da­men­talną wła­sno­ścią materii. Prawa kwantowe są sta­ty­styczne u samych podstaw.

  • Jacenty

    Drobna poprawka 🙂 w leadzie jest: „Alfa Centauri, Porcjon, Luyten 726–8, EZ Aquarii, 61 Cygni, Struve 2398, Gro­om­bridge 3…”

    Powinien być procjon nie porcjon 😉 komuś jakiś chochlik wpadł.

  • taki­ni­jaki

    Mam takie proste pytanie — skoro taki układ jest nie­prze­wi­dy­walny — dlaczego nie można go wyko­rzy­stać do uzy­ska­nia praw­dzi­wie losowych liczb?
    (moja wiedza jest żadna… dlatego pytanie może mieć try­wialne roz­wią­za­nie)

    • Kuba

      Często lepiej jest mieć miliony liczb pseu­do­lo­so­wych w sekundę, niż 1 losową na miliony sekund.

    • https://lowcygier.pl/forum/memberlist.php?mode=viewprofile&u=2 rob006

      To raczej błąd/uproszczenie autora — gdyby takiego ruchu nie dało się prze­wi­dzieć, to nie mógłby go zasy­mu­lo­wać (a przecież przyznał że to zrobił).

      • https://www.kwantowo.pl/ Adam Adamczyk

        Nie jest to błąd, ani uprosz­cze­nie. Mamy roz­wią­za­nia nume­ryczne, czyli na bieżąco możemy liczyć co zrobią obiekty w układzie n-ciał. Sęk w tym, że układ jest cha­otyczny i im dłuższy odcinek będziemy chcieli symu­lo­wać, tym większy będzie margines błędu. Przy czym w tym przy­padku drobna nie­do­kład­ność bły­ska­wicz­nie rośnie i rozwala całą prognozę.

        Te symu­la­tory, którymi sam się bawiłem były oczy­wi­ście proste i należy wręcz założyć, że wyniki z długiej symu­la­cji mogą być nie­do­kładne i nie przy­sta­wać do rze­czy­wi­sto­ści.

      • https://lowcygier.pl/forum/memberlist.php?mode=viewprofile&u=2 rob006

        No ale skąd się bierze ten “margines błędu”? Przecież tu działają sztywne prawa fizyki, na pod­sta­wie których da się obliczyć co się stanie. Gwiazdy/planety zaczy­nają się nie­spo­dzie­wa­nie przy­cią­gać z inną siłą niż wcze­śniej?

      • https://www.kwantowo.pl/ Adam Adamczyk

        W grę wchodzi mate­ma­tyczne zagad­nie­nie chaosu. Teo­re­tycz­nie mając pełny zestaw danych można obliczyć wszystko. W praktyce mamy do czy­nie­nia z ogromem infor­ma­cji (np. modele pogodowe) lub nie­sły­cha­nie deli­kat­nymi odchy­le­niami (tak jak tu), gdzie każda drob­niutka nie­do­kład­ność tworzy duże zabu­rze­nia i trzeba roz­po­czy­nać wyli­cze­nia od nowa. W prak­tycz­nej fizyce tak naprawdę niemal nigdy nie mamy 100% pomiarów, wszystko zawsze kończy się na którymś miejscu po prze­cinku (niech będzie choćby banalny przykład liczby pi). I o ile nor­mal­nie taka nie­do­kład­ność to żaden kłopot, o tyle w układzie cha­otycz­nym ona rośnie — taki mate­ma­tyczny efekt motyla.

        Ale oczy­wi­ście, w wyide­ali­zo­wa­nych warun­kach, przy odpo­wied­nio szybkich kom­pu­te­rach możemy prze­wi­dy­wać ruch w układzie n-ciał ze świetną precyzją. Przy czym to nie roz­wią­zuje samego problemu, bo jeśli prze­wi­dzimy ruchy ciał na miliard lat do przodu, to ich zacho­wa­nia w roku miliard pierw­szym znów nas zaskoczą. 🙂

      • https://lowcygier.pl/forum/memberlist.php?mode=viewprofile&u=2 rob006

        Czyli zacho­wa­niu układu jest prze­wi­dy­walne, roz­bież­no­ści wynikają z ogra­ni­czeń tech­nicz­nych narzędzi, które próbują go zasy­mu­lo­wać. To jest dość istotne w kon­tek­ście dyskusji o liczbach praw­dziwe losowych i pseu­do­lo­so­wych. 😉

      • https://www.kwantowo.pl/ Adam Adamczyk

        Jest, tak jak prze­wi­dy­walna jest pogoda. Czyli czysto teo­re­tycz­nie, przy zało­że­niu, że dys­po­nu­jemy abso­lut­nym kom­ple­tem danych i nie­ogra­ni­czoną mocą obli­cze­niową. Ale w samym tekście miałem na myśli nie­prze­wi­dy­wal­ność w sensie braku powta­rzal­no­ści ruchów ciał, nie­moż­li­wo­ści stwo­rze­nia schematu.

      • kuba_wu

        Wydaje mi się, że w tekście nie zary­so­wa­łeś do końca jasno właśnie tego para­doksu.

        Czyli: że wiemy bardzo dobrze, jak prostymi prawami rządzi się ruch N>=3 ciał w polu gra­wi­ta­cyj­nym, potra­fimy bez problemu policzyć siły/przyspieszenia w dowolnej kon­fi­gu­ra­cji — a mimo to, poza szcze­gól­nymi przy­pad­kami, nie potra­fimy ana­li­tycz­nie wyzna­czyć tra­jek­to­rii układu. To jest problem w istocie mate­ma­tyczny.

      • Michał Skichał

        … i wykra­cza­jący poza mate­ma­tyko-fizykę stricte new­to­now­ską 😉

      • kuba_wu

        To filo­zo­ficzne pytanie. W świecie fizycz­nym bowiem nie jest możliwe dokładne wyzna­cze­nie wartości pomia­ro­wych wsta­wia­nych do równań. Nie są znane również dokładne wartości stałych fizycz­nych. I nie chodzi tylko o to, że narzę­dzia są nie­do­kładne, ale, schodząc głębiej do podstaw — i tak nie da się zmierzyć dokład­nie np. poło­że­nia i pędu… cze­go­kol­wiek. Bo prawa kwantowe obo­wią­zują również w skali makro (choć zwykle jest to pomi­jalne jako kom­plet­nie nie­istotne przy innych źródłach błędów).

        A zatem, co z tego, że zjawisko BYŁOBY deter­mi­ni­styczne, GDYBY światem rządziła mecha­nika kla­syczna, a pomiary idealne były możliwe? Skoro żadne z powyż­szych założeń nie zachodzi?

        Ano — nic. Za to bardzo istotne staje się badanie tra­jek­to­rii stanów układów, w których stan znamy z okre­śloną nie­pew­no­ścią, i roz­róż­nia­nie tych sta­bil­nych od cha­otycz­nych.

      • Michał Skichał

        rob006 -> jak mówi Wiki­pe­dia, chodzi tutaj o taką własność równań (przede wszyst­kim nie­li­nio­wych równań róż­nicz­ko­wych), że ich roz­wią­za­nia są bardzo wrażliwe na dowolnie małe zabu­rze­nie para­me­trów. A teraz podam abs­trak­cyjny przykład, aby to zobra­zo­wać, w dużym uprosz­cze­niu.

        Wyobraźmy sobie, że inte­re­suje nas pewne zjawisko przy­rod­ni­cze. Jesteśmy bada­czami, opra­co­wa­li­śmy model tego zjawiska w postaci układu równań. Nasze równania opisują zjawisko i pozwa­lają je prze­wi­dy­wać. Przyj­mijmy, że układ równań ma cztery zmienne a, b, c, d. Pod­sta­wiamy zatem za te zmienne jakieś kon­kretne liczby i otrzy­mu­jemy wynik: tak to a tak będzie wyglądać inte­re­su­jące nas zjawisko w rze­czy­wi­sto­ści, o ile liczby, jakie wpro­wa­dzi­li­śmy do równań, będą odpo­wia­dać auten­tycz­nym para­me­trom tych zjawisk, które kształ­tują to nasze zjawisko, jakie mode­lu­jemy. Aby było bardziej kon­kret­nie przyj­mijmy, że jedna ze zmien­nych w naszym modelu, dajmy na to a, to po prostu masa wyrażana w kilo­gra­mach. I teraz tak… zmie­niamy wartość tej zmiennej a z wartości, powiedzmy, 240,000 kg na wartość 240,001 kg.

        Jeżeli nasze równania nie są cha­otyczne, to licząc model ponownie, otrzy­mu­jemy prak­tycz­nie podobny wynik. Jeżeli mode­lo­wa­nym przez nas zja­wi­skiem była pogoda i w poprzed­nim roz­wią­za­niu uzy­ska­li­śmy tornado masa­kru­jące Warszawę, to w nowym roz­wią­za­niu, ze zmie­nioną zmienną a, otrzy­mu­jemy ponownie tornado masa­kru­jące Warszawę, tylko z inną pręd­ko­ścią wiatru. Jednak jeżeli nasze równania są cha­otyczne, to licząc model ponownie, po zmianie zmiennej a, otrzy­mu­jemy całkiem inne wyniki, jakby zupełnie inny model. Jeżeli mode­lo­wa­nym zja­wi­skiem jest pogoda, a w pierw­szym roz­wią­za­niu otrzy­ma­li­śmy to tornado w War­sza­wie, to teraz otrzy­ma­li­śmy dwuletni okres suszy w Tokio (bez żadnych tornad w War­sza­wie).

        Jeżeli więc pytasz się o to, czy zjawiska opi­sy­wane przez równania cha­otyczne są deter­mi­ni­styczne, to odpo­wiedź jest pozy­tywna — tak, są deter­mi­ni­styczne. Czy można gene­ro­wać liczby losowe? Liczby losowe można gene­ro­wać ze wszyst­kiego, od rzutów monetą, po otwie­ra­nie książki na przy­pad­ko­wej stronie i wycią­ga­nie pier­wiastka z numeru strony. Czy liczby losowane z cha­otycz­nego układu równań będą bardziej “losowe” niż wylo­so­wane z rzutów monetą, czy otwie­ra­nia na chybił trafił książki? Obawiam się że nie.

  • aup

    “Trzeci obiekt zwykle utrzy­muje dystans,
    ale co jakiś czas wpada z wizytą psując swoją obec­no­ścią nastrój
    ele­ganc­kiego przy­ję­cia. Podczas każdego zbli­że­nia wzajemne przy­cią­ga­nia
    rodzą nowe zakłó­ce­nia, kierując ciała na zupełnie nowe tra­jek­to­rie.
    Dzieje się to bez końca albo do momentu, aż jeden z uczest­ni­ków imprezy
    zostanie wyeks­pe­dio­wany poza układ.”
    Czy to jest w ogóle możliwe, aby taki układ pozbył się na dobre trze­ciego obiektu? A może jest to nie­unik­nione w możliwie długim czasie i układ trzech ciał cha­otycz­nie, ale nie­prze­rwa­nie dąży do upo­rząd­ko­wa­nego układu dwóch?

    • Michał Skichał

      Jeżeli pytasz się, czy układ trzech obiektów okrą­ża­ją­cych się wza­jem­nie po cha­otycz­nych tra­jek­to­riach może się pozbyć jednego z nich, stając się układem podwój­nym, odpo­wiedź jest twier­dząca.